Integralrechnung

Lernpfad

Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.

Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.

Hinweise:

Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate!
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst.
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!

So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:

Aufgabe 1

Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit $v$ des Hundes, wobei positives $v$ die Bewegung nach rechts, negatives $v$ die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit $v$ wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit $t$ in Sekunden (s) gemessen.

Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.

Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:

a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links?

Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für   $0 \leq t \leq 8$   und   $13 \leq t \leq 16.$
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für   $9 \leq t \leq 13$   und   $16 \leq t \leq 28.$

b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?

Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für $t = 5.$
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für $t = 25.$

c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?

Bewegung nach rechts:
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: $0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15$
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: $5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16$
Bewegung nach links:
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: $9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25$
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: $12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28$

d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat.

Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m.
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.

e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?

Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse unterhalb der x-Achse!

f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns?

Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse etwas größer ist als derjenige unterhalb der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.

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Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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