Einführung in die Differentialrechnung

Lernpfad

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist.

Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.

Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.

Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt.

Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.

Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs Medienvielfalt im Mathematikunterricht, Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.

Einführung in die Differentialrechnung

• Einstieg
• Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate
• Von der Sekanten- zur Tangentensteigung
• Der Differenzenquotient
• Der Differentialquotient
• Die Ableitungsfunktion
• Die h-Schreibweise
• Zum Abschluss

< Mathematik-digital

Der Differentialquotient

Sie haben für diesen Abschnitt 15 Minuten Zeit.

Merke

Der Differentialquotient f'(x₀ ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient $f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Der Differentialquotient f'(x₀) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Der Differentialquotient f'(x₀ )

• beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x₀ und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x₀ und x₁ den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ annnährt,
• beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x₀|f(x₀)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) den Punkt B(x₁|f(x₁)) immer mehr dem Punkt A(x₀|f(x₀)) annähert.

Im Applet können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.

Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.

Aufgabe 12

Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.

Testen

Sie sollten nach dem Test sagen können:

Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären. Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann.

Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Differenzenquotient	Sekantensteigung	Durchschnittsgeschwindigkeit	mittlere Änderungsrate	$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Differentialquotient	Tangentensteigung	Momentangeschwindigkeit	$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	momentane Änderungsrate

Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.

Die Ableitungsfunktion

Für diesen Abschnitt haben Sie 20 Minuten Zeit.

Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.

Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f' .

Sie sollten nach der Aufgaben sagen können:

Ich kann den Graphen der Ableitungsfunktion skizzieren, wenn der Graph der Funktion gegeben ist.

Aufgabe 13

a) Auf dem ausliegenden Arbeitsblatt ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x² gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Legen Sie nun eine Tabelle an, in der Sie die x-Werte und die zugehörigen Werte der Tangentensteigung eintragen. Die Werte dieser Tabellen übertragen Sie in ein neues Koordinatensystem; dies ist der Graph der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
b) Auf der zweiten Seite des ausliegenden Arbeitsblatt ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x³ gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Zeichnen Sie nun in einem neuen Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.

c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Gruppe.

Hausaufgaben:

• Seite 132/1, Seite 132/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
• Seite 50/1, Seite 50/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
• Seite 52/2, 52/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Übungen für Fortgeschrittene:

• Seite 132/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
• Seite 50/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
• Seite 52/5, 52/6 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Die h-Schreibweise

Für diesen Abschnitt haben Sie 90 Minuten Zeit.

Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.

Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten

Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x₁ immer mehr x₀ anzunähern, kann man auch die Differenz $h=\Delta x=x_1-x_0$ klein werden lassen. Es ist dann $x_1=x_0+h$.

Aufgabe 14

a) Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen $h$, $x_0+h$, $f(x_0+h)$, $f(x_0+h)-f(x_0)$ zu finden sind.
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt A(x₀| f(x₀)) und den Punkt B(x₀+h| f(x₀+h)) gehen soll.
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h= 0 setzen würde.

Vollziehen Sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?

Sekantensteigung: $m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Wenn man h= 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.

Aufgabe 15

Gegeben ist wieder die Funktion f mit $f(x)=x^2$.

Berechnen Sie für $h = 0,1$ ($h= 0,01$ und $h = 0,001$) die Steigung der Sekanten für $x_0= 1$ und $x_1= 1+h$. (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu $h=0,1^n$ mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)

Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1|1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 9 und 10.

Die Sekantensteigung ist $m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}$. Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)

n	h	x1	Sekantensteigung m
0	1	2	3
1	0,1	1,1	2,1
2	0,01	1,01	2,01
3	0,001	1,001	2,001
4	0,0001	1,0001	2,0001
5	0,00001	1,00001	2,00001

Aufgabe 16

Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x₁ durch x₀+h.

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.

Die Berechnung von Ableitungen

Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x₀) einer Funktion f an einer Stelle x₀ berechnen.

Aufgabe 17

Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.

• Übung 1
• Übung 2

Beispielaufgabe

Betrachtet wird die Funktion $k(x)=0,002x^2$ (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).

• Die Ableitung an der Stelle x=100 wird wie folgt berechnet:

$f'(100)= \lim_{h\to 0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4$

• Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x₀ bestimmen:

$f'(x_0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}$

$= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0$

Aufgabe 18

1. Bestimmen Sie mit Hilfe des Applets, wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
2. Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.

Differenzieren

Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion $w(t)=0,001(t+8)^3$ (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t=5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t=t₀.

Aufgabe 19

1. Variieren Sie die Stelle x₀ im Applet und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
2. Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.

Merke

Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x₀ ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion.

Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.

Hausaufgabe:

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x²+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x₀.

f'(2)=12 und f'(x₀)=6x₀

Üben und Vertiefen

Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der * gibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.

Aufgabe 20 *

• Seite 133/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
• Seite 51/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
• Seite 48/3b (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Aufgabe 21 **

• Seite 133/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
• Seite 51/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
• Seite 52/4 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Aufgabe 22 ***

• Seite 133/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
• Seite 51/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
• Seite 48/10 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Testen

Sie sollten nach dem Test sagen können:

Ich kann die Ableitungsfunktionen für quadratische Funktionen und kubische Funktionen mit Hilfe des Grenzprozesses des Übergangs vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten berechnen.

Aus technischen Gründen werden in den Aufgaben an manchen Stellen eckige Klammern verwendet statt der sonst in diesem Zusammenhang üblichen runden Klammern.

1) Ordnen Sie die Formeln richtig den Oberbegriffen zu.

Differenz der x-Werte	$\Delta x$	$x_1-x_0$	h
Differenz der Funktionswerte	$\Delta y$	$f(x_1)-f(x_0)$	$f(x_0+h)-f(x_0)$

2a) Welchen Wert hat h für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x₀=1 und x₁=1,1? (!1) (0,1) (!2) (!1,1) (!3) (!0,01) (!2,1)

2b) Welchen Wert hat $f(x_0+h)$ für die Funktion f(x)=x² im Intervall für x₀=2 und h=0,1? (!2) (!4) (!1) (!0,01) (4,41) (!4,1) (!2,1) (!0,1) (!4,01)

2c) Was gibt h in der Formel $m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ an? (!Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen x₀ und x₀+h verändert.)(!Die Differenz der Funktionswerte.) (Die Differenz der x-Werte.) (!Die Steigung.)

2d) Wir betrachten die Funktion f[x]=0,2x³+x. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden? ($\frac{f[2,0001]-f[2]}{0,0001}$) (!$\frac{0,0001}{f[2,0001]-f[2]}$) (!$\frac{f[2,001]-f[2]}{0,001}$)(!$\frac{0,001}{f[2,001]-f[2]}$) (!$\frac{f[2,01]-f[2]}{0,01}$)(!$\frac{0,01}{f[2,01]-f[2]}$)

Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.

Zum Abschluss

Betrachten Sie noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:

• Was waren die Problemstellungen?
• Was waren die ersten Lösungsansätze?
• Wie sieht die mathematische Lösung aus?

Testen Schätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden Selbsteinschätzungsbogen ein.

Autoren: Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital/Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik-digital,Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik,Einführung,Differentialrechnung,Lernpfad</metakeywords>