Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Merke| | {{Box | ||
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | |Merke | ||
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | |||
'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben. | '''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben. | ||
'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.}} | '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben. | ||
|Merksatz | |||
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|Aufgaben | |||
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
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}} | |||
{{Aufgaben| | {{Box | ||
|Aufgaben | |||
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
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[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]] | [[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]] | ||
{{Lösung versteckt|Nutze für die Abstände auf der x- und y-Achse jeweils 1 Kästchen und gehe in Einserschritten voran.}} | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]}} | |||
'''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1) y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4) y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp. | '''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1) y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4) y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp. | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Beispiel-Tipp Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|600px|Beispiel-Tipp]]}} | |||
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}} | |||
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | {{Box | ||
|Aufgaben | |||
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
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[[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]] | [[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]] | ||
{{Lösung versteckt | |||
|Schaue dir noch einmal die [https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln/binomische-formeln Binomischen Formeln] an. | |||
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{{Lösung versteckt | |||
|Die Terme <math>f(x)=(x+3)^2</math> und <math>f(x)=x^2+9</math> sind nicht gleich. | |||
}} | |||
Man darf das Quadrat nicht einfach in die Klammer von <math>f(x)=(x+3)^2</math> ziehen: <math>f(x)=(x+3)^2\neq x^2+3^2</math> | Man darf das Quadrat nicht einfach in die Klammer von <math>f(x)=(x+3)^2</math> ziehen: <math>f(x)=(x+3)^2\neq x^2+3^2</math> | ||
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Die erste Binomische Formel besagt vielmehr: | Die erste Binomische Formel besagt vielmehr: | ||
<math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math>. | <math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math>. | ||
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{{Merke| | {{Box | ||
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | |Merke | ||
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | |||
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben. | '''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben. | ||
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.}} | '''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben. | ||
|Merksatz | |||
}} | |||
=='''Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte'''== | =='''Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte'''== | ||
{{Aufgaben| | {{Box | ||
|Aufgaben | |||
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele. | |||
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Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.}} | }} | ||
{{Merke| | {{Box | ||
Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für: | |Merke | ||
|Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für: | |||
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet. | '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet. | ||
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'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht. | '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht. | ||
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.}} | Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt. | ||
|Merksatz | |||
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{{Merke| | {{Box | ||
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | |Merke | ||
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | |||
'''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben. | '''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben. | ||
'''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.}} | '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben. | ||
|Merksatz | |||
}} | |||
{{Merke| | {{Box | ||
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | |Merke | ||
|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | |||
'''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben. | '''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben. | ||
'''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.}} | '''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben. | ||
|Merksatz | |||
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Version vom 24. Februar 2018, 19:14 Uhr
In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
- herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
- entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt.
Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
Quadratische Funktionen verändern
Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.
Vorlage:Video Video: Parabelflug des DLR
Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Vorlage:Pdf-extern des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.
Strecken, Stauchen und Spiegeln
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) .
Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:
- (1) , (2) und (3) ?
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
b) Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, als Funktion eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph von verändern. Was passiert?
In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
Knobelaufgabe
Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
Verschiebung in x-Richtung
In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler d betätigen und dadurch den Graph verändern.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:
d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
Verschiebung in y-Richtung
In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler e betätigen und dadurch den Graph verändern.
|Üben
}}
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7) .
Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.
a) Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für folgende quadratische Funktionen:
b) Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion ? Formuliere einen Tipp.
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) .
Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form und . Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.
Schaue dir noch einmal die Binomischen Formeln an.
Die Terme und sind nicht gleich.
Man darf das Quadrat nicht einfach in die Klammer von ziehen:
Die erste Binomische Formel besagt vielmehr:
.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:
e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte
Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. (mit a≠0) ergibt demnach für:
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.
-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.
Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für gilt:
d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von , wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für gilt:
e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form . Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel angeben.
Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.
Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)