Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen

Quadratische Funktionen erkunden

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Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt?

Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.

Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu Quadratischen Funktionen führt.

Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:

A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1² cm²= 1 cm²

Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:

Seitenlänge	Fläche
1 cm	1 cm2
2 cm	4 cm2
3 cm	9 cm2
4 cm	16 cm2

Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A = x². Den Flächeninhalt kannst du als Funktion von x ansehen und f(x) = x² oder y = x² schreiben.

x	y = x2
1	1
2	4
3	9
4	16

Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter .

a) Ergänze die Tabelle um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graph in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.

x	y = x2
1	1
2	4
3	9
4	16

Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt. <popup name="Lösungen von Lucio, Merle und Fabian">

</popup>

Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?

Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter und einen Partner .

Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?

Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.

<popup name="Hilfe">Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.

Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.</popup> <popup name="Lösung">Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.

Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.

Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.</popup>

Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:

Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y = x². Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.

Merke

• Der Term

$y = x^2$    bzw.    $f(x)=x^2$

beschreibt die einfachste quadratische Funktion.

• Den Graph dieser quadratischen Funktion nennt man Normalparabel.

• Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle $S(0|0)$. Dieser Punkt wird Scheitelpunkt genannt.

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)