Lernpfad Lineare Funktionen

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Kapitelübersicht

1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x) =1,5x -4$ und der Punkt $P(4|2)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
4. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.

1. $f(4) =1,5\cdot 4 -4$
   $2 =6 -4$    Die Funktion f liefert für den x-Wert $x = 4$ den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
2. Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-4)$
   Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
   $1,5x -4 = 0$ $\Leftrightarrow 1,5x = 4$ $\Leftrightarrow x = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ $= 2,6666...$ $= 2,\overline{6}$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(2,\overline{6} | 0)$
3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor $m=1,5$ wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt $b=0$:    $g(x) =1,5 x$
4. Formel für den Steigungsfaktor $m_h$ einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor $m_f$) senkrecht verläuft:     $m_h = -\frac{1}{m_f}$. Um $m_h$ zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von $m_f$ und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um.
   $m_f = 1,5 = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow m_h = - \frac{2}{3}$
   Ergebnis: $h(x)= - \frac{2}{3}x$

2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x) = x +1$ und der Punkt $P(-2|-0,5)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt $P(-2|-0,5)$ geht.
4. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt $P(-2|-0,5)$ geht.

1. $f(-2) = -2 +1 = -1$ Der Punkt $P(-2|-0,5)$ liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
2. Schnittpunkt mit y-Achse: $(0|1)$
   Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
   $x +1 = 0$ $\Leftrightarrow x = -1$     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(-1| 0)$
3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor $m=1$, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
   $g(x) = x + b$
   $g(-2) = -2 + b = -0,5 \Rightarrow b= 1,5$
   Die Gerade g hat die Gleichung $g(x) =x +1,5$
4. Steigung der Geraden h: $m_h = -\frac{1}{1} = -1$
   Zwischenlösung: $h(x)= -x +b$
   $P(-2|-0,5)$ einsetzen:
   $-0,5 = -1 \cdot (-2) + b$ $\Rightarrow b = -2,5$
   Ergebnis: $h(x) = -x -2,5$

3. Aufgabe (Üben) - Gerade und Punkt

Die Punkte $P(-4| y_P)$ und $Q(x_Q | 0,5)$ liegen beide auf der Geraden $f(x) = -0,75x +2$.

1. Bestimme die fehlenden Koordinaten $y_P$ und $x_Q$ der Punkte.
2. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.

zu 1.

Berechnung von $y_P$:
$f(x) = -0,75x +2$
$f(-4) = -0,75 \cdot (-4) + 2 = 5$
Ergebnis: $y_P = 5$

Berechnung von $x_Q$:
$f(x) = -0,75x +2$
   $0,5 = -0,75x +2$     | $-2$
$\Rightarrow-1,5 = -0,75x$     | geteilt durch (-0,75)
$\Rightarrow x = 2$
Ergebnis: $x_Q = 2$

zu 2.

$m_f = -0,75 = -\frac{3}{4}$
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: $m_h = -\frac{1}{m_f}$    (Kehrwert von $m_f$ bilden und Vorzeichen umdrehen)
$m_h = \frac{4}{3}$
Zwischenergebnis: $h(x) = \frac{4}{3} + b$    | Koordinaten von $P(-4|5)$ einsetzen:
   $5 = \frac{4}{3}\cdot (-4) + b$
$\Rightarrow \frac{15}{3} = -\frac{16}{3} + b$     | $+ \frac{16}{3}$
$\Rightarrow \frac{21}{3} = b$
$\Rightarrow b = 7$
Ergebnis: $h(x) = \frac{4}{3}x + 7$

4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

1. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(2|3)$ und $Q(3|5)$ geht.
2. Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt $P(2|3)$ geht.

zu 1.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ geht:
$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P}$

$y_P=3$ und $y_Q=5$   $\; \Rightarrow \Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2$

$x_P=2$ und $x_Q=3$   $\; \Rightarrow \Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1$

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2$

Zwischenergebnis: $f(x) =2 x + b$

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von $P(2|3)$:

    $f(2) = 2 \cdot 2 + b$
$\Leftrightarrow 3 = 4 + b$
$\Leftrightarrow b= -1$

Ergebnis: $f(x) = 2x -1$

zu 2.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: $(0|-1)$

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): $f(x) = 2x -1$
   $0 = 2x -1$     | $+ 1$
$\Leftrightarrow 1 = 2x$     | $/ 2$
$\Leftrightarrow x = 0,5$     (Nullstelle)
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(0,5|0)$

zu 3.

Ansatz: $h(x) = -\frac{1}{2} x + b$

Koordinaten von $P(2|3)$ einsetzen:

$3 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b$     | $+ 1$
$3 = -1 + b$     | $+ 1$
$b = 4$
Ergebnis: $h(x) = -0,5 x + 4$

5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(-3|3)$ und $Q(1|-5)$ geht und berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

$m = \frac{-5 -3}{1 -(-3)} = \frac{-8}{4} = -2$

Zwischenlösung: $f(x) =-2x + b$

Beispielsweise $P(-3|3)$ einsetzen:

    $f(-3) = -2 \cdot (-3) + b$
$\Rightarrow 3 = 6 + b$
$\Rightarrow b = -3$

Ergebnis: $f(x) = -2x -3$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0 | -3)$
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$f(x) = -2x -3$
$0 = -2x -3$
$\Rightarrow 3 = -2x$
$\Rightarrow x = -1,5$
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(-1,5 | 0)$.

Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:

GeoGebra-Applet für lineare Funktion $f(x) =m\;x + b$

GeoGebra-Applet für lineare Funktion $f(x) =m\;x + b$ durch die Punkte $P$ und $Q$