Lernpfad Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: Quelltext-Bearbeitung 2017 |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: Quelltext-Bearbeitung 2017 |
||
| Zeile 62: | Zeile 62: | ||
| | | | ||
zu 1. | zu 1. | ||
Berechnung von <math>y_P</math>: <br /> | Berechnung von <math>y_P</math>: <br /> | ||
<math>f(x) = -0,75x +2</math> <br /><math>f(-4) = -0,75 \cdot (-4) + 2 = 5 </math> <br /> | <math>f(x) = -0,75x +2</math> <br /><math>f(-4) = -0,75 \cdot (-4) + 2 = 5 </math> <br /> | ||
| Zeile 74: | Zeile 75: | ||
zu 2. | zu 2. | ||
<math> m_f = -0,75 = -\frac{3}{4} </math> <br /> | <math> m_f = -0,75 = -\frac{3}{4} </math> <br /> | ||
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: <math>m_h = -\frac{1}{m_f} </math> (Kehrwert von <math> m_f </math> bilden und Vorzeichen umdrehen) <br /> | Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: <math>m_h = -\frac{1}{m_f} </math> (Kehrwert von <math> m_f </math> bilden und Vorzeichen umdrehen) <br /> | ||
| Zeile 87: | Zeile 89: | ||
| Lösung verbergen | | Lösung verbergen | ||
}} | }} | ||
|3=Üben}} | |3=Üben}} | ||
| Zeile 94: | Zeile 95: | ||
|2= | |2= | ||
Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(2|3)</math> und <math>Q(3|5)</math> geht. | Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(2|3)</math> und <math>Q(3|5)</math> geht. | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
| | | | ||
| Zeile 122: | Zeile 124: | ||
|1=5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q | |1=5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q | ||
|2= | |2= | ||
Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-3|3)</math> und <math>Q(1|-5)</math> geht und berechne ihre | Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-3|3)</math> und <math>Q(1|-5)</math> geht und berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
| | | | ||
| Zeile 142: | Zeile 145: | ||
<math> f(x) = -2x -3 </math> <br /> | <math> f(x) = -2x -3 </math> <br /> | ||
<math> 0 = -2x -3 </math> <br /> | <math> 0 = -2x -3 </math> <br /> | ||
<math> 3 = -2x </math> <br /> | <math> \Rightarrow 3 = -2x </math> <br /> | ||
<math> x = -1,5 </math> | <math> \Rightarrow x = -1,5 </math> <br /> | ||
Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math> (-1,5 | 0) | Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math> (-1,5 | 0) </math>. | ||
| Lösung anzeigen | | Lösung anzeigen | ||
Version vom 28. Februar 2026, 07:57 Uhr
Gegeben sind die Gerade und der Punkt .
- Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
- Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
- Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
- Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.
-
Die Funktion f liefert für den x-Wert den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f. - Schnittpunkt mit der y-Achse:
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: - Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt :
- Formel für den Steigungsfaktor einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor ) senkrecht verläuft: . Um zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um.
Ergebnis:
Gegeben sind die Gerade und der Punkt .
- Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
- Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
- Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt geht.
- Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt geht.
- Der Punkt liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
- Schnittpunkt mit y-Achse:
Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet - Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor , aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
Die Gerade g hat die Gleichung - Steigung der Geraden h:
Zwischenlösung:
einsetzen:
Ergebnis:
Die Punkte und liegen beide auf der Geraden .
- Bestimme die fehlenden Koordinaten und der Punkte.
- Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.
zu 1.
Berechnung von :
Ergebnis:
Berechnung von :
|
| geteilt durch (-0,75)
Ergebnis:
zu 2.
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: (Kehrwert von bilden und Vorzeichen umdrehen)
Zwischenergebnis: | Koordinaten von einsetzen:
|
Ergebnis:
Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte und geht.
Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte und geht:
und
und
Zwischenergebnis:
Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von :
Ergebnis:
Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte und geht und berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Zwischenlösung:
Beispielsweise einsetzen:
Ergebnis:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Schnittpunkt mit der x-Achse:
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: .
Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:
GeoGebra-Applet für lineare Funktion

GeoGebra-Applet für lineare Funktion durch die Punkte und

