Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2025, 17:05 Uhr

zurück

Kapitelübersicht

weiter

Lernschritt Parabeln und Geraden

1. Aufgabe -Schnittpunkte von Parabel und Gerade

QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel

g(x) =x^2 -4x

und Gerade

h(x) =2x -5

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel

f(x) =x^2 -6x +5

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $h(x) =2x -5$ (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$ schneiden.

Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$ (QF05 Abbildung 1)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = h(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5$ | $-2x +5$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0$ | pq-Formel anwenden
$\Rightarrow x_1 = 1$ und $x_2 = 5$
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung $h(x)$ , um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3$
$g(1) = 1^2 -4\cdot 1 = -3$
$h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5$
$g(5) = 5^2 -4\cdot 5 = 5$
Schnittpunkte von $g$ und $h$ : $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von

g

und

h

führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von

f(x) =x^2 -6x +5

zu lösen ist. Die Schnittstellen von

g

und

h

sind also die Nullstellen der Parabel

f

.

2. Aufgabe -Schnittpunkt von Parabel und Tangente

QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel

g(x) =x^2 -4x

und Gerade

t(x) =2x -9

QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel

f(x) =(x-3)^2

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $t(x) =2x -9$ (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt $S(3|-3)$ berühren, die Gerade $t$ also eine Tangente der Parabel ist.

Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden $t$ tatsächlich um eine Tangente an die Parabel $g$ handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten $S(3|-3)$ besitzt.
Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +9$ (QF08 Abbildung 3)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = t(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9$    | $-2x +9$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0$    | 2. binomische Formel anwenden
$\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0$    | (doppelte) Nullstelle ablesen
$\Rightarrow x_1 = x_2 = 3$
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung $t(x)$ , um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in $g(x)$ zur Kontrolle):
$t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3$
$g(3) = 3^2 -4\cdot 3 = -3$
Berührpunkt von $g$ und $t$ : $S(3|-3)$

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von

g

und

t

führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von

f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2

zu lösen ist. Die Berührstelle von

g

und

t

ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel

f

.

3. Aufgabe -Schnittpunktberechnung üben

Gegeben sind eine quadratische Funktion $f$ und eine lineare Funktion $g$ . Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

$f(x) =x^2$ ; $g(x) = x +2$
$f(x) = x^2 -3x +9$ ; $g(x) = 2x +3$
$f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ; $g(x) =0,5x -3$
$f(x) =2x^2 +2x +1$ ; $g(x) =-2x -1$
$f(x) =-0,5x^2 +6x$ ; $g(x) =0,5x +12$

$S_1(-1|1)$ ) ; $S_2(2|4)$
$S_1(2| 7)$ ; $S_2(3|9)$
$S_1(1|-2,5)$ ; $S_2(3|-1,5)$
$S(-1|1)$
$S_1(3|13,5)$ ; $S_2(8|16)$

4. Aufgabe -Schnittpunkte zweier Parabeln

Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen $f$ und $g$ . Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.

$f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ; $g(x) =-0,5x^2 -x +1,5$
$f(x) =x^2 -5x +9$ ; $g(x) =2x^2 -x -12$
$f(x) =2x^2$ ; $g(x) =-4x^2$

$S_1(-1,5|1,875)$ ) ; $S_2(2|-2,5)$
$S_1(-7|93)$ ; $S_2(3|3)$
$S (0|0)$

@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 |1=1. <br />
 <math>g(x) = h(x) </math> <br />
-<math>\leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5 </math> {{!}}  <math> -2x +5 </math> <br />
+<math>\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  <math> -2x +5 </math> <br />
-<math>\leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0 </math> {{!}}  pq-Formel anwenden <br />
+<math>\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  pq-Formel anwenden <br />
-<math>\rightarrow=> x_1 = 1 </math> und <math> x_2 = 5 </math> <br />
+<math>\Rightarrow x_1 = 1 </math> und <math> x_2 = 5 </math> <br />
 Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung <math>h(x)</math>, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br />
 <math> h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3 </math> <br />
-<math> g(1) = 1^2 -4\cdot 1  = -3 </math> (nur zur Kontrolle) <br />
+<math> g(1) = 1^2 -4\cdot 1  = -3 </math>  <br />
 <math> h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5 </math>  <br />
-<math> g(5) = 5^2 -4\cdot 5  = 5 </math> (nur zur Kontrolle) <br />
+<math> g(5) = 5^2 -4\cdot 5  = 5 </math> <br />
 Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>h</math>:  <math>S_1(1|-3)</math> und <math>S_2(5|5)</math><br />
 . <br />Die Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>h</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +5</math> zu lösen ist. Die ''Schnittstellen'' von <math>g</math> und <math>h</math> sind also die ''Nullstellen'' der Parabel <math>f</math>.
@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 {{2Spalten|
 [[Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|350px|QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf<br />Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> und Gerade <math>t(x) =2x -9</math>]]
-| [[Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|QF08]]
+|
 [[Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|350px|QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf<br />Parabel <math>f(x) =(x-3)^2</math>]]
 }} </div>
-In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> (als durchgezogene Linie) und die Gerade <math>t(x) =2x -9</math> (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen genau in dem einen Punkten <math>S(3|-3) </math> berühren, die Gerade <math>t</math> also eine ''Tangente'' der Parabel ist.
+In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> (als durchgezogene Linie) und die Gerade <math>t(x) =2x -9</math> (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt <math>S(3|-3) </math> berühren, die Gerade <math>t</math> also eine ''Tangente'' der Parabel ist.
-# Bestätige ''rechnerisch'', dass es sich bei der Geraden <math>t</math> tatsächlich um eine Tangente an die die Parabel <math>g</math> handelt, d.h. dass die Parabel und die Gerade tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten <math>S(3|-3) </math> besitzt.
+# Bestätige ''rechnerisch'', dass es sich bei der Geraden <math>t</math> tatsächlich um eine Tangente an die  Parabel <math>g</math> handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten <math>S(3|-3) </math> besitzt.
 # Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +9</math> (QF08 Abbildung 3)?
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 |1=1. <br />
 <math>g(x) = t(x) </math> <br />
-<math>\leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9 </math> {{!}}  <math> -2x +9 </math> <br />
+<math>\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  <math> -2x +9 </math> <br />
-<math>\leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0 </math> {{!}}  2. binomische Formel anwenden <br />
+<math>\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  2. binomische Formel anwenden <br />
-<math>\leftrightarrow (x-3)^2 = 0 </math> {{!}}  (doppelte) Nullstelle ablesen <br />
+<math>\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  (doppelte) Nullstelle ablesen <br />
-<math>\rightarrow=> x_1 = x_2 = 3 </math> <br />
+<math>\Rightarrow x_1 = x_2 = 3 </math> <br />
-Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung <math>t(x)</math>, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br />
+Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung <math>t(x)</math>, um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br />
 <math> t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3 </math> <br />
-<math> g(3) = 3^2 -4\cdot 3  = -3 </math> (nur zur Kontrolle) <br />
+<math> g(3) = 3^2 -4\cdot 3  = -3 </math> <br />
 Berührpunkt von <math>g</math> und <math>t</math>:  <math>S(3|-3)</math> <br />
-. <br />Die Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>t</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2 </math> zu lösen ist. Die ''Berührstelle'' von <math>g</math> und <math>t</math> ist also die (einzige) ''Nullstelle'' der Parabel <math>f</math>.
+. <br />Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>t</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2 </math> zu lösen ist. Die ''Berührstelle'' von <math>g</math> und <math>t</math> ist also die (einzige) ''Nullstelle'' der Parabel <math>f</math>.
 |2=Lösung anzeigen
 |3=Lösung verbergen}}
 |3=Üben}} <!-- 2. Aufgabe -->
+{{Box
+|1=3. Aufgabe -Schnittpunktberechnung üben
+|2=Gegeben sind eine quadratische Funktion <math>f</math> und eine lineare Funktion <math>g</math>. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.
+# <math>f(x) =x^2</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) = x +2</math>
+# <math>f(x) = x^2 -3x +9</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) = 2x +3</math>
+# <math>f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =0,5x -3</math>
+# <math>f(x) =2x^2 +2x +1</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-2x -1</math>
+# <math>f(x) =-0,5x^2 +6x</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =0,5x +12</math>
+{{Lösung versteckt
+|1=
+# <math>S_1(-1|1)</math>) ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(2|4)</math>
+# <math>S_1(2| 7)</math>  ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|9)</math>
+# <math>S_1(1|-2,5)</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|-1,5)</math>
+# <math>S(-1|1)</math>
+# <math>S_1(3|13,5)</math>  ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(8|16)</math>
+|2=Lösung anzeigen
+|3=Lösung verbergen}}
+|3=Üben}} <!-- 3. Aufgabe -->
+{{Box
+|1=4. Aufgabe -Schnittpunkte zweier Parabeln
+|2=Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>. Berechne die Schnittpunkte  beider Parabeln.
+# <math>f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-0,5x^2 -x +1,5</math>
+# <math>f(x) =x^2 -5x +9</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =2x^2 -x -12</math>
+# <math>f(x) =2x^2</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-4x^2</math>
+{{Lösung versteckt
+|1=
+# <math>S_1(-1,5|1,875)</math>) ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(2|-2,5)</math>
+# <math>S_1(-7|93)</math>  ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|3)</math>
+# <math>S (0|0)</math>
+|2=Lösung anzeigen
+|3=Lösung verbergen}}
+|3=Üben}} <!-- 4. Aufgabe -->

Suche

Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2025, 17:05 Uhr

Navigation

Fächer

Hilfen

⧼advertisement⧽

Suche

Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2025, 17:05 Uhr

Navigation

⧼advertisement⧽

⧼timis-pagehighlighted⧽

⧼timis-pagenamespaces⧽

⧼timis-pagetranslate⧽

Seitenwerkzeuge

Seitenwerkzeuge