Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

zurück

Kapitelübersicht

weiter

Lernschritt Parabeln und Geraden

1. Aufgabe -Schnittpunkte von Parabel und Gerade

QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $h(x) =2x -5$

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $h(x) =2x -5$ (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$ schneiden.

1. Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$ (QF05 Abbildung 1)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = h(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5$ | $-2x +5$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0$ | pq-Formel anwenden
$\Rightarrow x_1 = 1$ und $x_2 = 5$
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung $h(x)$, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3$
$g(1) = 1^2 -4\cdot 1 = -3$ (nur zur Kontrolle)
$h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5$
$g(5) = 5^2 -4\cdot 5 = 5$ (nur zur Kontrolle)
Schnittpunkte von $g$ und $h$: $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $h$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +5$ zu lösen ist. Die Schnittstellen von $g$ und $h$ sind also die Nullstellen der Parabel $f$.

2. Aufgabe -Schnittpunkt von Parabel und Tangente

QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $t(x) =2x -9$

QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =(x-3)^2$

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $t(x) =2x -9$ (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt $S(3|-3)$ berühren, die Gerade $t$ also eine Tangente der Parabel ist.

1. Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden $t$ tatsächlich um eine Tangente an die Parabel $g$ handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten $S(3|-3)$ besitzt.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +9$ (QF08 Abbildung 3)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = t(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9$ | $-2x +9$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0$ | 2. binomische Formel anwenden
$\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0$ | (doppelte) Nullstelle ablesen
$\Rightarrow x_1 = x_2 = 3$
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung $t(x)$, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3$
$g(3) = 3^2 -4\cdot 3 = -3$ (nur zur Kontrolle)
Berührpunkt von $g$ und $t$: $S(3|-3)$

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $t$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2$ zu lösen ist. Die Berührstelle von $g$ und $t$ ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel $f$.

3. Aufgabe -Schnittpunktberechnung üben

Gegeben sind eine quadratische Funktion $f$ und eine lineare Funktion $g$. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

1. $f(x) =x^2$ ; $g(x) = x +2$
2. $f(x) = x^2 -3x +9$ ; $g(x) = 2x +3$
3. $f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ; $g(x) =0,5x -3$
4. $f(x) =2x^2 +2x +1$ ; $g(x) =-2x -1$
5. $f(x) =-0,5x^2 +6x$ ; $g(x) =0,5x +12$

1. $S_1(-1|1)$) ; $S_2(2|4)$
2. $S_1(2| 7)$  ; $S_2(3|9)$
3. $S_1(1|-2,5)$ ; $S_2(3|-1,5)$
4. $S(-1|1)$
5. $S_1(3|13,5)$  ; $S_2(8|16)$

4. Aufgabe -Schnittpunkte zweier Parabeln

Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen $f$ und $g$. Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.

1. $f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ; $g(x) =-0,5x^2 -x +1,5$
2. $f(x) =x^2 -5x +9$ ; $g(x) =2x^2 -x -12$
3. $f(x) =2x^2$ ; $g(x) =-4x^2$

1. $S_1(-1,5|1,875)$) ; $S_2(2|-2,5)$
2. $S_1(-7|93)$  ; $S_2(3|3)$
3. $S (0|0)$