Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen

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Lernschritt Quadratische Gleichungen lösen

• Bei verschiedenen mathematischen Fragestellungen kommt es immer wieder mal vor, dass eine quadratische Gleichung der Form $ax^2 +bx +c = 0$ mit $a \not= 0$ zu lösen ist. Das ist zwar mit dem schon beschriebenen Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion möglich, indem man deren Normalform zuerst mithilfe einer quadratischen Ergängzung in die Scheitelpunktform und diese anschließend mit der 3. binomischen Formel in die Linearfaktorform überführt. Aber dieses Verfahren ist ziemlich aufwendig und langwierig. Eine schnellere Methode besteht darin, entweder die so genannte pq-Formel oder die abc-Formel (auch bekannt als "Mitternachtsformel") anzuwenden.
• Allerdings gibt es auch einige Sonderfälle von quadratischen Gleichungen, die man sogar noch schneller ganz ohne eine dieser Formeln lösen kann. Mit diesen Sonderfällen startet dieser Lernschritt.

Sonderfälle von quadratischen Gleichungen, die man sehr schnell auch ohne Formel lösen kann

Bevor man die pq-Formel oder die abc-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung anwendet, sollte man erst mal prüfen, ob es nicht noch einen einfacheren Lösungsweg gibt. Dies ist in folgenden Situationen der Fall:

1. Fall: $q = 0$

In einer Gleichung wie z.B. $x^2 -7,63\; x = 0$ kann man auf der linken Seite einfach ein x ausklammern und erhält dadurch die Aufspaltung in zwei Linearfaktoren

$x \cdot (x -7,63) = 0$. Der eine Faktor ist $x$, der andere die Klammer $(x -7,63)$. Nach der Nullprodukt-Regel ist daher entweder $x =0$ oder $x -7,63 =0$, also $x =7,63$. Die Nullstellen lauten $x_1 =0$ und $x_2 =-7,63$.

2. Fall: $p = 0$

Eine Gleichung wie z.B. $x^2 - 2 = 0$ kann man direkt mit der 3. binomischen Formel umformen zu $(x +\sqrt{2}) \cdot (x -\sqrt{2}) = 0$ und darin mit der Nullprodukt-Regel die beiden Lösungen $x_1 = -\sqrt{2}$ und $x_2 = +\sqrt{2}$ ablesen.
Alternativ kann man auch die Gleichung $x^2 - 2 = 0$ umformen zu $x^2 = 2$. Hier kann man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen, muss dabei aber beachten, dass man damit erst einmal nur die positive Lösung $x = +\sqrt{2}$ erhält und die zweite Lösung noch hinzukommt (siehe Kapitel QF01 Normalparabel).

3. Fall: 1. oder 2. Binomische Formel direkt anwendbar

Eine Gleichung wie z.B. $x^2 +10x +25 = 0$ kann man direkt mit der 1. binomischen Formel in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen und darin die Nullstellen ablesen

$x^2 +10x +25 = 0$ $\Leftrightarrow (x + 5)^2 = 0$ $\Leftrightarrow (x + 5) \cdot (x +5) = 0$. $x_1 = x_2 = -5$ ist eine (doppelte) Nullstelle der Funktion $f(x) = (x + 5)^2 und damit die Lösung dieser quadratischen Gleichung. Im Folgenden wird zuerst an zwei Beispielen gezeigt, wie man die pq-Formel benutzt. Die ist etwas einfacher als die abc-Formel, leistet aber genauso viel. Anschließend wird der Vollständigkeit halber auch die abc-Formel vorgestellt. Beiden Formeln liegt die Idee zu Grunde, dass man (irgendwann mal) vorab einmalig den Weg über die quadratische Ergänzung und die 3. binomische Formel durchlaufen hat - und zwar ganz allgemein mit den Koeffizienten der quadratischen Gleichung als Variablen. Dadurch erhält man die Lösungen <math> x_1$ und $x_2$ als Ausdrücke, die auch wieder diese Koeffizienten enthalten. Das sind die Formeln. Um sie anzuwenden, muss man dann nur noch in ihnen für die Koeffizienten die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung einsetzen.

pq-Formel

Die quadratische Gleichung $x^2 +px +q = 0$ besitzt die zwei Lösungen

$x_1 = -\frac{1}{2}p + \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$ und $x_2 = -\frac{1}{2}\;p - \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$,

wenn der Ausdruck unter der Wurzel (die so genannte "Diskriminante") $D = \frac{1}{4}\;p^2 -q > 0$ ist. In einer abgekürzten Schreibweise fasst man die beiden Formeln für $x_1$ und $x_2$ auch so zu einer Formel zusammen:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

Wenn $D = 0$ ist, gibt es genau eine Lösung $x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}\;p$.

Wenn $D < 0$ ist, besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

1. Beispiel - Anwendung der pq-Formel

Gelöst werden soll die quadratische Gleichung $x^2 -6x +5 = 0$ mithilfe der pq-Formel (siehe 1. Beispiel im Kapitel QF06 Linearfaktorform und Nullstellen)

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

1. Schritt: p und q identifzieren: $p = -6$ und $q = 5$
2. Schritt: $-\frac{1}{2}\;p = -\frac{1}{2} \cdot (-6) = \boldsymbol{3}$
3. Schritt: Der vordere Ausdruck innerhalb der Wurzel lautet $\frac{1}{4}\;p^2$. Das ist aber nichts anderes als das Quadrat des Terms $-\frac{1}{2}\;p$, den wir im 2. Schritt schon berechnet haben - im vorliegenden Beispiel mit dem Ergebnis 3. Wir müssen also lediglich dieses Zwischenergebnis zu $3^2 =9$ quadrieren und davon $q=5$ subtrahieren, um die gesamte Diskriminante D (den Ausdruck unter der Wurzel) zu berechnen:
   $D = \frac{1}{4}p^2 -q = 9 - 5 = 4$
4. Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: $\sqrt{D} = \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$ $= \sqrt{4} = \boldsymbol{2}$
5. Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: $x_1 = 3 +2 = 5$ und $x_1 = 3 -2 = 1$.

2. Beispiel - Anwendung der pq-Formel

Gelöst werden soll die quadratische Gleichung $\frac{2}{5}\;x^2 +\frac{4}{5}\;x -6 = 0$ mithilfe der pq-Formel (siehe Aufgabe 3.3 im Kapitel QF06 Linearfaktorform und Nullstellen).

Vorbereitender Schritt: Da in diesem Beispiel der Koeffizient $a = \frac{2}{5} \not= 1$ ist, dividieren wir als erstes die gegebene Gleichung durch diesen Koeffizienten, indem wir mit dem Kehrwert $\frac{5}{2}$ multiplizieren, und erhalten so die Gleichung:

$x^2 +2\;x -15 = 0$

Anwendung der pq-Formel:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

1. Schritt: p und q identifzieren: $p = 2$ und $q = -15$
2. Schritt: $-\frac{1}{2}\;p = -\frac{1}{2} \cdot 2 = \boldsymbol{-1}$
3. Schritt: Dieses Zwischenergebnis zu $(-1)^2 =1$ quadrieren und davon $q=-15$ subtrahieren, um D zu berechnen. Dabei ist zu beachten, dass hier mit $q = -15$ eine negative Zahl subtrahiert werden muss, was zur Addition von 15 führt: $D = 1-(-15) = 1 + 15 = 16$
4. Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: $\sqrt{D} = \sqrt{16} = \boldsymbol{4}$
5. Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: $x_1 = -1 +4 = 3$ und $x_1 = -1 -4 = -5$.

1. Aufgabe - pq-Formel üben

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel. Bilde anschließend zur Kontrolle aus den Lösungen die Linearfaktorform und daraus die Normalform der entsprechenden quadratischen Funktion.

1. $x^2 +4\;x -21 = 0$
2. $2\;x^2 -11\;x -6 = 0$

1. $p=4$, $q=-21$     Lösungen: $x_1=3$ und $x_2=-7$
   $(x-3) \; (x+7) = 0$ $\Leftrightarrow x^2 +4x\; -21 = 0$
2. $p=-11$, $q=-6$     Lösungen: $x_1=-0,5$ und $x_2=6$
   $(x+0,5 \; (x-6) = 0$ $\Leftrightarrow x^2 -5,5\;x -3 = 0$ $\Leftrightarrow 2\;x^2 -11\;x -6 = 0$

2. Aufgabe

Man muss die pq-Formeln nicht unbedingt erst selber hergeleitet haben, bevor man sie anwenden kann. Schließlich steht sie ja in jeder Formelsammlung. Aber vielleicht reizt des dich ja, diese Herleitung auch selbstständig hinzubekommen?

Ausgangspunkt ist die Normalform der quadratischen Funktion $f(x) = x^2 +p\;x +q$. Diese kann durch eine quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden. Der Koeffizient $+p = -(-p)$ entspricht dabei dem Ausdruck $-2\;b$ in der 2. binomischen Formel. $-2\;b = -(-p) \Leftrightarrow b = -\frac{1}{2}\;p$. Mit der 3. binomischen Formel wird anschließend die Scheitelpunktform in die Linearfaktorform überführt, aus der die Nullstellen abgelesen werden können.

Gegeben ist die quadratische Funktion in der Normalform

$f(x) = x^2 +px +q$.

Um ihre Nullstellen zu bestimmen, wird diese Normalform zunächst mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt:

$f(x) = x^2 -(-p)\;x + \left( -\frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( -\frac{1}{2}\;p \right)^2 +q$

$f(x) = \left( x - (-\frac{1}{2}\;p) \right)^2 - \frac{1}{4}\;p^2 +q$

$f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( \frac{1}{4}\;p^2 -q \right)$

Um nun die 3. binomische Formel anwenden zu können, wird die hintere Klammer zu einem Quadrat umgeformt:

$f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)^2$

Anwendung der 3. binomischen Formel mit $a^2 = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2$ und $b^2 = \left( \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)^2$

$f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p + \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right) \cdot \left( x + \frac{1}{2}\;p - \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)$

Setzt man diese Linearfaktorform von $f$ gleich Null, so erhält man die Nullstellen:

$x_1 = -\frac{1}{2}\;p + \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q}$ und

$x_2 = -\frac{1}{2}\;p - \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q}$.

Die folgende abc-Formel leistet im Prinzip das Gleiche wie die pq-Formel und kann auch auf diese zurückgeführt werden.

abc-Formel ("Mitternachtsformel")

Die quadratische Gleichung $a\;x^2 +b\;x +c = 0$ mit $a \not= 0$ besitzt die zwei Lösungen

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$,

wenn der Ausdruck unter der Wurzel $D = b^2 - 4ac > 0$ ist.

Wenn $D = 0$ ist, gibt es genau eine Lösung $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$.

Wenn $D < 0$ ist, besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

$a\;x^2 +b\;x +c = 0$ mit $a \not= 0$

Division auf beiden Seiten der Gleichung durch $a$:

$x^2 +\frac{b}{a}\;x +\frac{c}{a} = 0$

Setze in der pq-Formel $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$:

$x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}$

$x_{1,2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^2 - \frac{c}{a}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

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