Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel

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Lernpfad Normalparabel

Was du in diesem Lernpfad lernen kannst ...

Funktionenmaschine

Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $5^2 = 5\cdot 5 = 25$. Man kann die Arbeitsweise der Quadriermaschine sehr einfach mithilfe einer Rechenvorschrift beschreiben: $y = x^2$. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $f(x) = x^2$. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$f$") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $f(5) = 5^2$.

Funktion als "eindeutige Zuordnung"

Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert $x=3$ in die Funktion $f(x) =x^2$, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert $y=9$.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein. So ist z.B. der y-Wert $y=9$ der Funktionswert sowohl von $x=-3$ als auch von $x=3$, denn $f(-3)=(-3)^2 = 9$ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $f(3) = 3^2 = 9$.

Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen

Argument $x$

x-Wert, input der Funktion

Funktionswert $f(x)$

y-Wert, output der Funktion

Funktionsterm $x^2$

Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte

Funktionsgleichung $f(x)=x^2$

Gleichung, die das Verhalten der Funktion rechnerisch beschreibt

Wertetabelle

Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle. Für eine Reihe von x-Werten wird jeweils der entsprechende y-Wert $f(x)$ berechnet und in einer Tabelle dem x-Wert gegenübergestellt.

Für die Funktion $f(x)=x^2$ kann man z.B. folgende Wertetabelle aufstellen:

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9

In der Tabelle 1 sind alle x-Werte ganze Zahlen. Es können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte vorkommen.

1. Aufgabe

Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion $f(x)=x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25		0,75	1,25		1,75	2,25
f(x)		0,25			2,25			6,25

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25	0,5	0,75	1,25	1,5	1,75	2,25	2,5
f(x)	0,06	0,25	0,56	1,56	2,25	3,06	5,06	6,25

Funktionsgraph

Man kann die Arbeitsweise einer Funktion anschaulich durch einen Funktionsgraphen darstellen. Dazu fasst man die Wertepaare $[x ; f(x)]$ aus der Wertetabelle als Punkte $(x | y)$ im Koordinatensystem auf.

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x +b$ besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf einer Geraden liegen. Jetzt soll untersucht werden, wie das bei der Funktion $f(x)=x^2$ aussieht.

2. Aufgabe

• Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem.
• Füge einige beliebige weitere Punkte deiner Wahl hinzu.
• Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ aus - also die Menge aller Punkte $P(x | x^2)$ im Koordinatensystem?
• Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.

Mögliche Antworten:

• Je mehr Punkte $(x|x^2)$ man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie.
• Die Krümmung ist in der Nähe des Ursprungs am größten.
• Der Graph verläuft ausschließlich im 1. und 2. Quadranten.
• Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.

Definition Normalparabel

Der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet.

Die Normalparabel besteht aus der Menge aller Punkte $P(x | y)$ im Koordinatensystem, bei denen die y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, für die also gilt: $y = x^2$.

Die Menge aller Argumente $x$, die bei einer Funktion als input zugelassen werden können, wird auch als der Definitionsbereich $\mathbb {D}$ der Funktion bezeichnet. Bei der Normalparabel ist $\mathbb {D} = \mathbb {R}$.

Die Menge aller Funktionswerte $y$, die von einer Funktion als output erzeugt werden können, bezeichnet man auch als ihren Wertebereich $\mathbb {W}$. Bei der Normalparabel ist $\mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+$, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.

QF01 Normalparabel Arial24.pdf

3. Aufgabe - Graphisches Quadrieren

Lies für folgende x-Werte den Wert $y=x^2$ "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).

1. $x=2,7$    $x^2=?$
2. $x=-2,4$    $x^2=?$
3. $x=1,8$    $x^2=?$

Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (gibt es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage) oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.

Zur Erinnerung: Definition der "Quadratwurzel"

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl $a$ ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol $\sqrt{a}$. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: $\sqrt{0} = 0$.

Beachte bitte:

1. Die Gleichung $x^2 = 9$ besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich $x_1 = -3$ und $x_2 = 3$. Aber nur die positive dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" $\sqrt{9}$ (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert (damit die Wurzel-Definition eindeutig ist).
2. Für negative Zahlen $a$ ist die Quadratwurzel nicht definiert (jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt keine reelle Zahl $x \in \mathbb {R}$, für die gilt: $x^2 = -1$. Es gibt also auch keine Zahl $x \in \mathbb {R}$, für die $x = \sqrt{-1}$ ist. Der Ausdruck $\sqrt{-1}$ ist daher in $\mathbb {R}$ nicht definiert.

4. Aufgabe - Graphisches Wurzelziehen

Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach.

1. $x^2=1,44$    $x=?$
2. $x^2=6,25$    $x=?$
3. $x^2=2$    $x=?$

Die Form der Normalparabel

Weitere Begriffe zur Normalparabel

• Der tiefste Punkt der Normalparabel $(0|0)$ wird als ihr Scheitelpunkt bezeichnet.
• Der rechte Ast der Normalparabel verläuft rechts vom Scheitelpunkt (für positive x-Werte) im 1. Quadranten des Koordinatensystems.
• Der linke Ast verläuft (für negative x-Werte) links vom Scheitelpunkt im 2. Quadranten.

5. Aufgabe

• Zeige, dass die Funktion $f(x) = x^2$ für alle $x \in \mathbb {R}$ die Bedingung $f(x) =f(-x)$ erfüllt.
• Begründe mithilfe dieser rechnerischen Eigenschaft, dass die Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.
• Begründde, dass bei allen Funktionen, die die Bedingung $f(x) =f(-x)$ für alle $x \in \mathbb {D}$ erfüllen, der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

• Für alle $x \in \mathbb {R}$ gilt: $f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)$.
• Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, wählt man einen beliebigen Punkt $P(x|x^2)$ auf dem rechten Parabelast und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten $Q(0|x^2)$. Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ ist $x$. Verlängert man nun $\overline{PQ}$ um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" $P'(-x|x^2)$. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn $f(-x) = x^2$.
• Allgemein: Wenn für jedes $x \in \mathbb {R}$ die Gleichung $f(x) = f(-x)$ gilt, dann gibt es zu jedem Punkt $P(x|f(x))$ auf der rechten Seite des Graphen von f einen Punkt $P'(-x|f(x))$ mit gleichem Abstand zu den Achsen auf der linken Seite und umgekehrt. Alle Funktionsgraphen, deren Funktionsgleichung die Bedingung $f(x) =f(-x)$ erfüllen, verlaufen daher achsensymmetrisch zur y-Achse.

6. Aufgabe - Parabel-Treppe 1. Stufe

Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann, ohne eine Wertetabelle anlegen zu müssen. Mit der Parabel-Treppe ist das ganz einfach.

1. Gehe im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt $(0|0)$ der Normalparabel aus um eine Einheit nach rechts. In welchem Punkt landest du?
2. Um wie viele Einheiten musst du von hier aus senkrecht in welche Richtung gehen, bis du wieder auf die Parabel triffst?
3. In welchem Punkt ist das der Fall?

Wenn man vom Ausgangspunkt $P_0(0|0)$ um eine Einheit nach rechts geht

1. gelangt man zum Zwischenpunkt $Z_1(1|0)$.
2. Wenn man von dort aus um 1 Einheit nach oben geht, landet man wieder auf der Parabel im
3. Zielpunkt $P_1(1|1)$.

Folge der ungeraden Zahlen

Mathematikum: u * v am Parabelrechner https://mathothek.de/katalog/der-parabelrechner-er-ist-keine-konkurenz-fuer-den-taschenrechner/

Stifte in den Parabelpunkten mit ganzzahligen Koordinaten (-10|100), (-9|

Gerade g(x) =mx +b durch U(u|u^2) und V(v|v^2): m= (v^2 -u^2)/(v-u) = (v+u)(v-u)/(v-u) = v+u g(v) = (v+u)*v +b = v^2 v^2 + u*v +b = v^2 -u*v = b