Beschreibende Statistik/Klassenbildung

Lernziele:

• Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
  • Klassenanzahl,
  • Spannweite und
  • Klassenbreite.
• Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
• Sie können
  • Klassenanzahlen,
  • die Spannweite und
  • Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
• Sie kennen den Unterschied zwischen
  • Klassen mit gleicher Klassenbreite und
  • Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
• Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen   Übungen

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe

Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

"gelb" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

"blau" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

"Andere" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.

Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit

Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

"Leistungsträger" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",

"Mittelfeld" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und

"Blauer Brief" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.

Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

Beispiel Körpergröße (in cm)

Urliste

Körpergröße in cm
170	178	174	188	168
191	169	159	199	200
177	178	200	193	169
151	185	191	165	158
185	188	194	180	170

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

Klasseneinteilung

Klasse $k_1$:

vom kleinsten Wert $x_{Min}$ (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich

mathematische Kurzschreibweise: $[151;175]=]150;175]$

Klasse $k_2$:

von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich

mathematische Kurzschreibweise: $]175;183]$

Klasse $k_3$:

von über 183 cm bis zum größten Wert $x_{Max}$ (hier 200 cm) einschließlich

mathematische Kurzschreibweise: $]183;200]$

Häufigkeitsverteilung bestimmen

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit $H(k_i)$ zu jeder Klasse $k_i$ bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse $k_i$ liegen. Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit $h(k_i)$ zu jeder Klasse $k_i$ bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang $n$, die im Intervall der Klasse $k_i$ liegen, berechnet.

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
$k_i$	$150 < a_i \le 175$	$175 < a_i \le 183$	$183 < a_i \le 200$	Summe
$H(k_i)$	$10$	$4$	$11$	$25$
$h(k_i)$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{2}{5}=40 %}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{4}{25}=16 %}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{11}{25}=44 %}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100 %}

Interpretation

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

Klassenbreiten bestimmen

Die gewählten Klassen $k_i$ sind unterschiedlich breit. Die Breite $b_i$ einer Klasse $k_i$ errechnet man, indem man die untere Grenze $uG_i$ von der oberen Grenze $oG_i$ subtrahiert.

Klasse $k_i$	untere Grenze $uG_i$	obere Grenze $oG_i$	Klassenbreite $b_i$
$k_1$	$150$	$175$	$175-150=25$
$k_2$	$175$	$183$	$183-175=8$
$k_3$	$183$	$200$	$200-183=17$

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
Klasse $k_i$	Intervall	$H(k_i)$	$h(k_i)$
$k_1$	$143 < a_i \le 151$	$1$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{1}{25}=4 %}
$k_2$	$151 < a_i \le 159$	$2$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{2}{25}=8 %}
$k_3$	$159 < a_i \le 167$	$1$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{1}{25}=4 %}
$k_4$	$167 < a_i \le 175$	$6$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{6}{25}=24 %}
$k_5$	$175 < a_i \le 183$	$4$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{4}{25}=16 %}
$k_6$	$183 < a_i \le 191$	$6$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{6}{25}=24 %}
$k_7$	$191 < a_i \le 199$	$3$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{3}{25}=12 %}
$k_8$	$199 < a_i \le 207$	$2$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{2}{25}=8 %}
Summe		$25$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%}

Interpretation

Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.

Merke

Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte Klassen $k_i$ der (Klassen-)Breite $b_i$ zusammenzufassen.

Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

• Klassen mit gleicher Klassenbreite $b_i=b$

  Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite $b_i$

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

Aufgabe

Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.

Klassen mit gleicher Klassenbreite

Übungen

Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.

Klassen	$k_i$	haben eine obere Grenze	haben eine untere Grenze
Klassenbreite	$b_i$	Spannweite geteilt durch Klassenanzahl	$\frac{R}{k}$	$b$
Spannweite	$R$	$x_{Max}-x_{Min}$	Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
Klassenanzahl	$k$	$\sqrt{n}$	Wurzel aus dem Stichprobenumfang
größte Merkmalsausprägung	$x_{Max}$
kleinste Merkmalsausprägung	$x_{Min}$

Aufgabe

Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:

52,5;	51,7;	52,3;	50,9;	48,8;	51,4;	48,3;
52,2;	51,4;	50,7;	50,8;	52,0;	48,4;	50,0;
51,4;	49,1;	47,5;	51,5;	48,7;	51,3;	47,9;
49,5;	49,9;	50,1;	50,2;	52,4;	52,0;	50,1;
49,9;	51,9;	48,7;	51,4;	52,4;	47,9;	51,0;
48,9;	50,2;	48,0;	51,5;	49,8;	49,1;	48,4;
51,7;	51,1;	51,2;	51,5;	48,3;	51,5;	51,1

Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.

Aufgabe

Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

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Klassen mit gleicher Klassenbreite

Lernpfad Beschreibende Statistik

1. Grundbegriffe
   • Grundgesamtheit, Stichprobe und Stichprobenumfang
   • Merkmal und Merkmalsausprägungen
   • Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen
   • Absolute und Relative Häufigkeiten
   • Klassenbildung
2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
   • Säulendiagramm
   • Balkendiagramm
   • Kreisdiagramm
   • Punktwolke
3. Lagemaße
   (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
4. Streuungsmaße
   (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
5. Einsatz des Taschenrechners
   (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)