Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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==kleine Einführung in die Integralrechnung==
{{Box|Lernpfad|[[File:Area under function.png|right]]Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.
{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}Der folgende Lernpfad soll eine kleine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse der Jahrgangsstufe 12 im Fach Mathematik gegeben. <br><br>


Der Lernpfad wurde im Rahmen der der zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Nicole Streil (Benutzername: Nic3381) mit Unterstützung von D.Jacobs (Benutzername:Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.}}
Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:Dickesen Dickesen]) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.
<br><br>
 
<br><br>
 
{{Kasten_blau|Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich '''{{Schrift_grün|erst nach eigenständiger Bearbeitung}}''' dazu rate! <br>  
 
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|left|verweis=Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}
 
'''Hinweise''':
 
Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate! <br>  
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
Alle Aufgaben sollen im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten werden. Alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich ins Heft übernehmen!}}
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!
<br><br>
So, jetzt kann es endlich losgehen. <br> <br>
{{Aufgaben-M|1|
Eine Rangierlok wurde am Abend von Schaffner Paulsen am Mittleren von drei Signale abgestellt. Dieses Signal steht mittig auf dem Rangierbahnhof "Hasenweide". Am folgenden Tag soll Lokführer Knutsen die Funktionstüchtigkeit der Lok überprüfen, indem er ein paar Rangierübungen abfährt.<br><br>
In folgender Tabelle sind die Geschwindigkeiten und die jeweiligen Zeiten angegeben.
}} <br>
'''Die Lok startet zur Zeit t = 0 am Mittleren Signal.''' <br> <br>




{| class="wikitable "
'''So, jetzt geht's aber los! '''Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:
|+ Tabelle Rangierübung
|- style="background: #DDFFDD;"
! Zeit t[s]
! Geschwindigkeit v[m/s]
|-
| 0
| 0
|-
| 4
| 10
|-
| 7
| 0
|-
| 9
| 0
|-
| 12
| -6
|-
| 14
| -7
|-
| 16
| -6
|-
| 18
| 0
|-
| 20
| 0
|-
| 22
| 5
|-
| 24
| 5
|-
| 26
| 0
|-
| 28
| -3
|-
| 30
| 0
|}


<br>  
{{Box|1=Aufgabe 1|2=
Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort: <br> <br>
Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Hundes, wobei positives <math>v</math> die Bewegung nach rechts, negatives <math>v</math> die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit <math>v</math> wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit <math>t</math> in Sekunden (s) gemessen.
a) '''Skizziere den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der Rangierlok!'''<br>
 
{{Lösung versteckt|[[Datei:Nic3381_Rangierlok3.JPG|zentriert|500px]]}}<br><br>
'''Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.''' <br>  
b) '''In welchen Zeitabschnitten bewegt sich die Lok vorwärts  bzw. rückwärts?''' <br>
<center>[[Bild:Diagramm_Hund.jpg]]</center>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Bewegung vorwärts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
 
<math>0 \leq t \leq 7</math> &nbsp; und &nbsp; <math>20 \leq t \leq 25.</math> <br> <br>
'''Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:''' <br>  
Bewegung rückwärts wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
 
<math>9 \leq t \leq 18</math> &nbsp; und &nbsp; <math>26 \leq t \leq 30.</math>
'''a)''' In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links? {{Lösung versteckt|Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
}}}}<br><br>
<math>0 \leq t \leq 8</math> &nbsp; und &nbsp; <math>13 \leq t \leq 16.</math> <br>  
c)''' Wann hat die Lok die größte Geschwindigkeitvorwärts bzw. rückwärts erreicht?''' <br>
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Größte Geschwindigkeit vorwärts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 4.</math> <br>
<math>9 \leq t \leq 13</math> &nbsp; und &nbsp; <math>16 \leq t \leq 28.</math>
Größte Geschwindigkeit rückwärts am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 14.</math>
}}
}}}}<br><br>
'''b)''' Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?  
d) '''Wann wird die Lok schneller, wann wird sie langsamer?''' <br>
{{Lösung versteckt|Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 5.</math> <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 25.</math>
Bewegung '''vorwärts''': <br>
}}
Lok wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 4 \ ; \ 20 \leq t \leq 22</math> <br>
'''c)''' Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?{{Lösung versteckt|
Lok wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>4 \leq t \leq 7 \ ; \ 22 \leq t \leq 25</math>
Bewegung nach rechts: <br>
<br><br>
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15</math> <br>
Bewegung '''rückwärts''': <br>
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16</math>
Lok wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 14 \ ; \ 26 \leq t \leq 28</math> <br>
Lok wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>14 \leq t \leq 18 \ ; \ 28 \leq t \leq 30</math>
}}}}<br><br>
e)''' Gib eine Schätzung für die Breite des Rangierbahnhofes an unter der Voraussetzung, dass die Lok zum  Zeitpunkt t = 7 das Endsignal und somit die Grundstücksgrenze erreicht hat.''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Strecke vom mittleren Signal bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 35m. <br>
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 70m.
}}}}
f)''' Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der von der Lok zurückgelegten Strecke die Bahnhofsbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke vorwärts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke rückwärts ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}}}<br><br>
g) '''Befindet sich die Lok nach 30 Sekunden vor oder hinter dem mittleren Signal?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich die Lok vor dem mittleren Signal.
}}}}
<br><br><br>
<div align="center">
[[Mathematik-digital/eine kleine Einführung in die Integralrechnung/Zusammenhänge|>>Weiter>>]]
</div>
<br>
<br>
{{Navigation Lernpfad eine kleine Einführung in die Integralrechnung}}
Bewegung nach links: <br>
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25</math> <br>
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28</math>
}}
'''d)''' Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum  Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat. {{Lösung versteckt|
Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m. <br>
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.
}}
'''e)''' Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?{{Lösung versteckt|
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}
'''f)''' Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns? {{Lösung versteckt|
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Fortsetzung|weiter=Vorüberlegungen|weiterlink=/Vorüberlegungen}}
 
 
{{Lernpfad Integral}}


[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
[[Kategorie:Analysis]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:25 Uhr

Lernpfad
Area under function.png
Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden.

Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.


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Hinweise:

Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate!
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst.
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!


So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:

Aufgabe 1

Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit des Hundes, wobei positives die Bewegung nach rechts, negatives die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit in Sekunden (s) gemessen.

Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.

Diagramm Hund.jpg

Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:

a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links?

Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für     und  
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für     und  

b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?

Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für

c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?

Bewegung nach rechts:
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen:
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen:
Bewegung nach links:
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen:
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen:

d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat.

Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m.
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.

e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?

Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse unterhalb der x-Achse!

f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns?

Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse etwas größer ist als derjenige unterhalb der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.

Vorüberlegungen


Area under function.png

Integralrechnung

  1. Vorüberlegungen
  2. Ober- und Untersumme
  3. Flächen bestimmen
  4. Bestimmtes Integral
  5. Flächeninhaltsfunktion
  6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
  7. Stammfunktion
  8. Aufgaben
  9. Hauptsatz
  10. Integrationsregeln
  11. Aufgaben II

Mathematik-digital.de

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