Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.  
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.  
<small>Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.</small>
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
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|3=Lernpfad}}
|3=Lernpfad}}
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{{Einführung in die Differentialrechnung}}
{{Einführung in die Differentialrechnung}}


 
Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.
 
 
 
 
== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==
 
Für diesen Abschnitt haben Sie 60 Minuten Zeit.
 
In diesem Abschnitt soll die zweite Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft und verallgemeinert werden. Sie lernen und üben, Sekantensteigungen  und Tangentensteigungen zu bestimmen.
 
<br><br>
==== Barringer-Krater ====
 
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
<br>
Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math>  kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.
 
 
Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion k(x) in zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math> schneidet, nennt man '''Sekante'''.
<br>
<br><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
 
 
{{Box|1=Aufgabe 6|2=
Überlegen Sie, wo in der '''[https://www.geogebra.org/m/jwBGuUTD Zeichnung]''' folgende Größen zu finden sind:
<math>x_1-x_0</math> und <math>k(x_1)-k(x_0)</math>
 
''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
 
{{Lösung versteckt|1=
[https://www.geogebra.org/m/FVcjKbYy Lösung mit Beschriftung]
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 7|2=
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300<nowiki>|</nowiki>180) und B(400<nowiki>|</nowiki>320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x<sub>0</sub> hinaus fortgesetzt denkt.
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>m=\frac{320-180}{400-300}=\frac{140}{100}=1,4</math>
 
Dieser Wert ist größer als 1,15. Das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interessant ist.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
 
<big>'''Information'''</big><br>
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
Wenn die Steigung der Tangenten positiv ist, steigt der Graph, wenn sie negativ ist, bedeutet dies, dass der Graph in diesem Punkt fällt.
<br>
 
In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
 
{{Box|1=Aufgabe 8|2=
Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.
 
Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie  für <math>\Delta x </math> und <math>\Delta y</math> aus dem Applet entnehmen können.
 
Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
 
Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden.
Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.
 
<br>
 
Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.
 
<br><br>
 
==== Verallgemeinerung ====
 
Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.
<br><br>
 
{{Box|1=Aufgabe 9|2=
Auf dem [[Media:AB Zeichnerische Bestimmung der Sekantensteigung.pdf|Arbeitsblatt]], das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.<br>
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.<br>
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und C(1,5<nowiki>|</nowiki>f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.<br>
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
 
{{Lösung versteckt|1=
a) Die Steigung ist (ungefähr) 3.<br>
b) Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.<br>
c) Die Steigung ist (ungefähr) 2.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br><br>
 
{{Box|1=Aufgabe 10|2=
Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math>.<br>
a) Bestimmen Sie  rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=2</math> mit Hilfe der Formel  <math>m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.<br>
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.<br>
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
 
{{Lösung versteckt|1=
a) Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>.<br>
b) Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>.<br>
c) Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
 
 
Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br><br>
 
{{Box|1='''Hausaufgaben'''|2=
 
a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> in Punkten A(3<nowiki>|</nowiki> 9) und B(-2<nowiki>|</nowiki> 4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.<br>
b)  Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> in Punkten A(3<nowiki>|</nowiki> 9) und B(-2<nowiki>|</nowiki> 4) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a. <br>
c) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=3 x^2+2</math> im Punkt A(2<nowiki>|</nowiki> f(2)).
 
 
{{Lösung versteckt|1=
a) Die Steigungen sind ungefähr  6 und -4.<br>
b) Die Steigungen sind 6 und -4.<br>
c) Die Steigung ist 12.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
{{Box|1=Aufgabe Differenzieren|2=
a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> in Punkten A(1<nowiki>|</nowiki> f(1)) und B(-0,5<nowiki>|</nowiki> f(-0,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.<br>
b)  Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> in Punkten A(1<nowiki>|</nowiki> f(1)) und B(-0,5<nowiki>|</nowiki> f(-0,5)) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a. <br>
 
{{Lösung versteckt|1=
a) Die Steigungen sind ungefähr  -1 und -4.<br>
b) Die Steigungen sind -1 und -4.<br>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
<br>
 
 
'''Testen'''
 
Sie sollten nach dem Test sagen können:
 
Ich kann Sekanten und Tangenten an Graphen von Funktionen zeichnen und ihre Steigungen aus der Zeichnung bestimmen.<br>
Ich kann bei gegebener Funktionsvorschrift rechnerisch Sekantensteigungen bestimmen und damit Tangentensteigungen annähern.
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
1a)
Welchen Wert hat <math>\Delta x</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (2) (!3) (!5) (!8) (!9)
 
1b)
Welchen Wert hat <math>\Delta y</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (!2) (!3) (!5) (8) (!9)
 
1c) Was gibt <math>\Delta y </math> in 1b) an?
(Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen 1 und 3 verändert.)(!Die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3.)  (!Die Stellen für die Funktionswerte 1 und 3.) (!Die durchschnittliche Veränderung des Funktionswertes zwischen den Stellen 1 und 3.)
 
1d) Ein Teilstück einer Achterbahn kann mit der Funktion h[x]=0,2x³+x beschrieben werden. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden?  (<math>\frac{h[2,0001]-h[2]}{2,0001-2}</math>) (!<math>\frac{2,0001-2}{h[2,0001]-h[2]}</math>) (!<math>\frac{h[2,001]-h[2]}{2,001-2}</math>)(!<math>\frac{2,001-2}{h[2,001]-h[2]}</math>) (!<math>\frac{h[2,01]-h[2]}{2,01-2}</math>)(!<math>\frac{2,01-2}{h[2,01]-h[2]}</math>)
 
</div>
Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
 
 
== Der Differenzenquotient ==
 
Sie haben für diese Aufgabe 10 Minuten Zeit.
 
{{Box|1=Aufgabe 11|2=
Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.
 
[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]]'''Plenumsphase'''
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
== Der Differentialquotient ==
 
Sie haben für diesen Abschnitt 15 Minuten Zeit.
 
{{Box|1=Merke|2=
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:
 
Differentialquotient  <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
 
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0</sub>)  wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle  x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
|3=Merksatz}}
 
Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
 
* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle  x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen  x<sub>0</sub> und  x<sub>1</sub> den Wert  x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert  x<sub>0</sub> annnährt,
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
<br>
 
Im [https://www.geogebra.org/m/mQSKUdzQ Applet ] 
können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.
 
'''Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.'''
 
 
{{Box|1=Aufgabe 12|2=
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.|3=Arbeitsmethode}} 
 
 
'''Testen'''
 
Sie sollten nach dem Test sagen können:
 
Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären.
Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann.
 
<div class="zuordnungs-quiz">
 
Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.
{|
| Differenzenquotient || Sekantensteigung || Durchschnittsgeschwindigkeit  || mittlere Änderungsrate  || <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>|| <math>\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math>
|-
| Differentialquotient || Tangentensteigung || Momentangeschwindigkeit || <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} </math> || momentane Änderungsrate
|}
</div>
 
Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.
 
 
== Die Ableitungsfunktion ==
 
Für diesen Abschnitt haben Sie 20 Minuten Zeit.
 
Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.
 
Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die '''Ableitungsfunktion f' '''.
 
 
Sie sollten nach der Aufgaben sagen können:
 
Ich kann den Graphen der Ableitungsfunktion skizzieren, wenn der Graph der Funktion gegeben ist.
 
{{Box|1=Aufgabe 13|2=
a) Auf dem ausliegenden [[Media:Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion.pdf|Arbeitsblatt]] ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x<sup>2</sup> gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Legen Sie nun eine Tabelle an, in der Sie die x-Werte und die zugehörigen Werte der Tangentensteigung eintragen. Die Werte dieser Tabellen übertragen Sie in ein neues Koordinatensystem; dies ist der Graph  der  Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
<br>
b) Auf der zweiten Seite des ausliegenden [[Media:Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion.pdf|Arbeitsblatt]] ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x<sup>3</sup> gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Zeichnen Sie nun in einem neuen Koordinatensystem den Graphen der  Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
<br>
c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Gruppe.
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
 
'''Hausaufgaben:'''
 
* Seite 132/1, Seite 132/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 50/1, Seite 50/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
* Seite 52/2, 52/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
 
'''Übungen für Fortgeschrittene:'''
 
* Seite 132/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 50/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
* Seite 52/5, 52/6 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
 
 
<br>
 
 
== Die h-Schreibweise ==
 
Für diesen Abschnitt haben Sie 90 Minuten Zeit.
 
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.
 
<br><br>
 
=== Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten ===
 
Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
 
<br>
 
{{Box|1=Aufgabe 14|2=
a) Überlegen Sie, wo in der folgenden '''[https://www.geogebra.org/m/aSYZe7F2 Zeichnung]''' die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt  A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>+h)) gehen soll.<br>
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
 
 
{{Lösung versteckt|1=
Vollziehen Sie im [https://www.geogebra.org/m/KvWKDuKN Applet] den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
 
Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
 
Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
 
{{Box|1=Aufgabe 15|2=
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
 
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
 
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 9 und 10.
 
{{Lösung versteckt|1=
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
<br>
{{{!}} class="wikitable center"
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
{{!}}-
{{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 2 {{!}}{{!}} 3
{{!}}-
{{!}} 1 {{!}}{{!}} 0,1 {{!}}{{!}} 1,1 {{!}}{{!}} 2,1
{{!}}-
{{!}} 2 {{!}}{{!}} 0,01 {{!}}{{!}} 1,01 {{!}}{{!}} 2,01
{{!}}-
{{!}} 3 {{!}}{{!}} 0,001 {{!}}{{!}} 1,001 {{!}}{{!}} 2,001
{{!}}-
{{!}} 4 {{!}}{{!}} 0,0001 {{!}}{{!}} 1,0001 {{!}}{{!}} 2,0001
{{!}}-
{{!}} 5 {{!}}{{!}} 0,00001 {{!}}{{!}} 1,00001 {{!}}{{!}} 2,00001
{{!}}}
 
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 16|2=
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten  den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
 
{{Lösung versteckt|1=
<math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
 
Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
 
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
=== Die Berechnung von Ableitungen ===
 
Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) einer Funktion f an einer Stelle x<sub>0</sub> berechnen.
 
{{Box|1=Aufgabe 17|2=
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung 1]
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
|3=Arbeitsmethode}}
<br>
 
 
 
{{Box|1='''Beispielaufgabe'''|2=
Betrachtet wird die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).
<br>
* Die Ableitung an der Stelle x<nowiki>=</nowiki>100 wird wie folgt berechnet:
 
{{Lösung versteckt|1=
:<math>f'(100)= \lim_{h\to 0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4</math><br>
}}
 
* Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x<nowiki>=</nowiki>x<sub>0</sub> bestimmen:
{{Lösung versteckt|1=
:<math>f'(x_0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0</math><br>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 18|2=
# Bestimmen Sie mit Hilfe des [https://www.geogebra.org/m/ZCh8hVMX Applets], wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
# Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
 
{{Box|1=Differenzieren|2=
Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
{{Box|1=Aufgabe 19|2=
# Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
# Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br><br>
 
{{Box|1=Merke|2=
Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
|3=Merksatz}}
 
<br>
 
'''Hausaufgabe:'''
 
Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x<sup>2</sup>+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x<sub>0</sub>.
<br>
{{Lösung versteckt|1=
f'(2)=12 und f'(x<sub>0</sub>)=6x<sub>0</sub>
}}
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===Üben und Vertiefen===
 
Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der * gibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.
 
{{Box|1= Aufgabe 20 *|2=
* Seite 133/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 51/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
* Seite 48/3b (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
 
{{Box|1=Aufgabe 21 **|2=
* Seite 133/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 51/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
* Seite 52/4 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
 
{{Box|1=Aufgabe 22 ***|2=
* Seite 133/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 51/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
* Seite 48/10 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
|3=Arbeitsmethode}}
 
<br>
'''Testen'''
 
Sie sollten nach dem Test sagen können:
 
Ich kann die Ableitungsfunktionen für quadratische Funktionen und kubische Funktionen mit Hilfe des Grenzprozesses des Übergangs vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten berechnen.
 
''Aus technischen Gründen werden in den Aufgaben an manchen Stellen eckige Klammern verwendet statt der sonst in diesem Zusammenhang üblichen runden Klammern.''
 
<div class="zuordnungs-quiz">
1) Ordnen Sie die Formeln richtig den  Oberbegriffen zu.
{|
| Differenz der x-Werte || <math>\Delta x</math> || <math>x_1-x_0</math> || h
|-
| Differenz der Funktionswerte || <math>\Delta y</math> || <math>f(x_1)-f(x_0)</math> || <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math>
|}
</div>
<br>
<div class="multiplechoice-quiz">
 
2a)
Welchen Wert hat h für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x<sub>0</sub>=1 und x<sub>1</sub>=1,1? (!1) (0,1) (!2) (!1,1) (!3) (!0,01) (!2,1)
 
2b)
Welchen Wert hat <math>f(x_0+h)</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall für x<sub>0</sub>=2 und h=0,1? (!2) (!4) (!1) (!0,01) (4,41) (!4,1) (!2,1) (!0,1) (!4,01)
 
2c) Was gibt h in der Formel <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> an?
(!Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen x<sub>0</sub> und  x<sub>0</sub>+h verändert.)(!Die Differenz der Funktionswerte.)  (Die Differenz der x-Werte.) (!Die Steigung.)
 
2d) Wir betrachten die Funktion f[x]=0,2x³+x. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden?  (<math>\frac{f[2,0001]-f[2]}{0,0001}</math>) (!<math>\frac{0,0001}{f[2,0001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,001]-f[2]}{0,001}</math>)(!<math>\frac{0,001}{f[2,001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,01]-f[2]}{0,01}</math>)(!<math>\frac{0,01}{f[2,01]-f[2]}</math>)
 
</div>
Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
 
 
== Zum Abschluss ==
 
Betrachten Sie noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:
* Was waren die Problemstellungen?
* Was waren die ersten Lösungsansätze?
* Wie sieht die mathematische Lösung aus?
 
 
<br>
 
 
'''Testen'''
Schätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden [[Media:Selbsteinschätzungsbogen Differentialrechnung.pdf|Selbsteinschätzungsbogen]] ein.
 
<br>
<br>


'''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber
'''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber
{{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}}


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[[Kategorie:Differentialrechnung]]
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[[Kategorie:Differenzialrechnung]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
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[[Kategorie:ZUM.de/News]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital/Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik-digital,Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik,Einführung,Differentialrechnung,Lernpfad</metakeywords>
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
[[Kategorie:Koffer gepackt]]
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[[Kategorie:Analysis]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:10 Uhr

Lernpfad

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist.

Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.

Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.

Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt.

Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.

Mathematik-digital

Einführung in die Differentialrechnung

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Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs Medienvielfalt im Mathematikunterricht, Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.

Autoren: Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber

Einstieg
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