Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad-M|
{{Box|1=Lernpfad|2=
Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.
Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist.  
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[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]]
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Reihe eingesammelt.
}}
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{{Kurzinfo|gut}}


==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.  
{{Mathematik|
Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
}}
<br>
{{Experiment|
Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen Ihre Skizze.


Mit dem folgenden Experiment können Sie Ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.
Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie '''mittlere und momentane Änderungsrate''', '''Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient''' und '''Ableitung''' kennen.
<popup name="Versuchsaufbau">
{{Kasten blau|
'''Benötigte Materialien:'''
* Messbecher
*Einfülltrichter
*Höhenskala
*Stoppuhr (z.B. App im Smartphone)
*leere Plastikflasche 500ml
}}


Im Bild sehen Sie den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.  
Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt.


''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|3=Lernpfad}}


[[Datei:LP_Messbecher.jpg|150px]]
{{Einführung in die Differentialrechnung}}
</popup>


Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.


[[/GeoGebra-Tabelle erstellen/]]
'''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber
{{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}}


Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, können Sie sich die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markieren Sie als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü ''Erzeuge - Liste von Punkten'' ausgewählt werden, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.
<br>
{{Aufgaben-M|1|
'''a)''' Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?
'''b)''' Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Geschwindigkeit des Anstiegs des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es  möglich, diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.
}}
<br>
<br>
==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''
{{Mathematik|
[[Datei:Meteor.jpg|400px|miniatur|Barrington-Krater]]
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math> beschrieben werden.
<br><br>
[[Datei:LP_Krater.png]]
}}
<br />
{{Aufgaben-M|2|
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
<popup name="Was bedeuten 115% Steigung? Hilfe">
Wird eine Steigung, wie z.B. bei einem Verkehrschild [[Datei:LP_Steigungsschild.png|100px]] angegeben, so bedeutet die Prozentangabe eine Höhenveränderung von 20m je 100m horizontaler Strecke. Im nachstehenden Bild finden Sie die genauen Angaben. Beachten Sie insbesondere auch die Länge der tatsächlich zurückgelegten Strecke je 100m, sowie den realen Winkel der Höhenänderung.
[[Datei:LP_Steigungsdreick_10P.png|400px]]
</popup>
}}
<br>
[[Media:AB Einstiegsaufgabe.pdf|Arbeitsblätter zu den Einstiegsaufgaben]]
<br>
<br>
== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
===== Blumenvase =====
[[Datei:VaseFuellvorgang.jpg|130px]]
In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig  Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.
:{| class="wikitable"
!'''Zeit (Sekunden)''' !! '''Höhe (cm)'''
|-
| 0 || 0,51
|-
| 3 || 1,33
|-
| 6 || 2,74
|-
| 9 || 4,91
|-
| 12 || 8,00
|-
| 15 || 12,17
|-
| 18 || 17,58
|}
'''Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.'''
''Bsp.''<br /> In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)<br /><br />
{{Aufgaben-M|3|
Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner oder PC die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:<br />
a) in den ersten drei Sekunden<br />
b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
c) zwischen Sekunde 12 und 15<br />
d) zwischen Sekunde 3 und 12<br />
e) in den ersten 18 Sekunden<br />
}}
<popup name="Lösung">
a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.<br />
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.<br />
c) Zwischen Sekunde 12 und 15 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 12,17 cm - 8 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,39 cm/s zu.<br />
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.<br />
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
</popup>
<br /><br />
<br>
{{Mathematik|
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.
}}
<br>
{{Aufgaben-M|4|
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt <math>t = 12</math> Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des '''[http://tube.geogebra.org/student/m353065 Applets]''' und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
a) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 13</math> Sekunden<br />
b) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,5</math> Sekunden<br />
c) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,1</math> Sekunden<br />
d) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,05</math> Sekunden<br />
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />
}}
<br />
<popup name="Lösung">
a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 13 die Höhe 9,261 cm hat. In der einen Sekunden ist es also um 9,261 - 8 cm = 1,261 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 1,261 cm/s.<br />
b) 8,6151 cm - 8 cm = 0,6151 cm => 0,6151 cm : 0,5 s = 1,2302 cm/s<br />
c) 1,206 cm/s<br />
d) 1,204 cm/s<br />
e) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.<br />
</popup>
<br /><br />
{{Aufgaben-M|5|
Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> beschrieben werden. Hierbei gibt <math>w(t)</math> die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt <math>t</math> (in Sekunden) an.<br />
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.<br />
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
}}
<popup name="Lösung">
a)<br />
<math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
<math>w(12,001)=0,001(12,001+8)^3=8,00120006</math><br />
=> Höhenzunahme: <math> 8,00120006 cm - 8 cm = 0,00120006 cm</math><br />
=> mittlere Änderungsrate: <math>0,00120006 cm : 0,001 s = 1,20006 cm/s</math><br />
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.<br />
</popup>
<br />
== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==
===== Barringer-Krater =====
{{Mathematik|
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
<br>
Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math>  kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet, nennt man '''Sekante'''.
<br>
<br><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
}}
<br>
{{Aufgaben-M|6|
Überlegen Sie, wo in der '''[http://tube.geogebra.org/student/m353127 Zeichnung]''' folgende Größen zu finden sind:
<math>x_1-x_0</math> und <math>k(x_1)-k(x_0)</math>
''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
}}
<br>
<popup name="Lösung">
[http://tube.geogebra.org/student/m353147 Lösung mit Beschriftung]
</popup>
<br>
{{Aufgaben-M|7|
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300<nowiki>|</nowiki>180) und B(400<nowiki>|</nowiki>320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x<sub>0</sub> hinaus fortgesetzt denkt.
}}
<popup name="Lösung">
<math>m=\frac{320-180}{400-300}=\frac{140}{100}=1,4</math>
Dieser Wert ist größer als 1,15. Das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interessant ist.
</popup>
<br>
{{Mathematik|
<big>'''Information'''</big><br>
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
}}
<br>
In der Graphik der Lösung der  Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
{{Aufgaben-M|8|
Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.
Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie  für <math>\Delta x </math> und <math>\Delta y</math> aus dem Applet entnehmen können.
Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?
}}
<br>
Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden.
Wenn  die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.
<br>
Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.
==== Verallgemeinerung ====
Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.
<br><br>
{{Aufgaben-M|9|
Auf dem [[Media:AB Zeichnerische Bestimmung der Sekantensteigung.pdf|Arbeitsblatt]], das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.<br>
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.<br>
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und C(1,5<nowiki>|</nowiki>f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.<br>
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
}}
<popup name="Lösung">
a) Die Steigung ist (ungefähr) 3.<br>
b) Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.<br>
c) Die Steigung ist (ungefähr) 2.
</popup>
<br><br>
{{Aufgaben-M|10|
Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math>.<br>
a) Bestimmen Sie  rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=2</math> mit Hilfe der Formel  <math>m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.<br>
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.<br>
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
}}
<popup name="Lösung">
a) Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>.<br>
b) Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>.<br>
c) Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
{{Kasten_blau|
Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
}}
</popup>
<br><br>
{{Mathematik|
<big>'''Information'''</big><br>
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
<br>
Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
}}
<br>
{{Aufgaben-M|11|
a) Überlegen Sie, wo in der folgenden '''[http://tube.geogebra.org/student/m353107 Zeichnung]''' die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt  A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>+h)) gehen soll.<br>
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
}}
<br>
<popup name="Lösung">
{{untersuchen|}} Vollziehen sie im [http://tube.geogebra.org/student/m353201 Applet] den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
<br>
Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
<br>
Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
</popup>
<br><br>
{{Aufgaben-M|12|
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
}}
<br>
<popup name="Lösung">
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
<br>
{| class="wikitable"
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
|-
| 0 || 1|| 2 || 3
|-
| 1 || 0,1 || 1,1 || 2,1
|-
| 2 || 0,01 || 1,01 || 2,01
|-
| 3 || 0,001 || 1,001 || 2,001
|-
| 4 || 0,0001 || 1,0001 || 2,0001
|-
| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
|}
</popup>
<br>
{{Differenzieren|Übungen für Fortgeschrittene}}
{{Aufgaben-M|13|
a) Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe  einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> im Punkt A(3<nowiki>|</nowiki> 9).<br>
b)  Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe  einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=3 x^2+2</math> im Punkt A(2<nowiki>|</nowiki> f(2)).
}}
<br>
<popup name="Lösung">
a) Die Steigung ist 6.<br>
b) Die Steigung ist 12.
</popup>
<br />
<br />
== Differenzenquotient ==
{{Aufgaben-M|14|
Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.
}}
<br>
[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]]'''Plenumsphase'''
<br>
<br />
<br />
== Differentialquotient ==
{{Mathematik|
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <big>'''Information'''</big><br>
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:
Differentialquotient  <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0</sub>)  wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle  x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
}}
Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle  x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen  x<sub>0</sub> und  x<sub>1</sub> den Wert  x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert  x<sub>0</sub> annnährt,
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
<br>
Im [http://tube.geogebra.org/student/m686231%20 Applet ] können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.
<br>
{{Protokollieren|
<big>'''Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.'''</big>
}}
<br>
<br><br>
{{Aufgaben-M|15|
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
}} 
{{Mathematik|
'''Andere Schreibweise des Differentialquotienten:<br>
Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch jetzt wieder die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
}}
<br>
{{Aufgaben-M|16|
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten  den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
}}
<popup name="Lösung">
<math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
<br>
{{untersuchen|}} Vergleichen Sie das [http://tube.geogebra.org/student/m353201 Applet] mit dem vorherigen Applet zum Differentialquotienten und untersuchen Sie die Veränderungen.
</popup>
<br /><br />
Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) berechnen.
{{Aufgaben-M|17|
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung 1]
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
}}
<br>
== Ableitungsfunktion ==
{{Mathematik|
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]] <big>'''Beispielaufgabe:'''</big><br>
Betrachtet wird die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).
<br>
* Die Ableitung an der Stelle x<nowiki>=</nowiki>100 wird wie folgt berechnet:
<popup name="Lösung">
:<math>f'(100)= \lim_{h\to 0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4</math><br>
</popup>
* Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x<nowiki>=</nowiki>x<sub>0</sub> bestimmen:
<popup name="Lösung">
:<math>f'(x_0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0</math><br>
</popup>
}}
<br>
{{Aufgaben-M|18|
# Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
# Welche Bedeutung haben die beiden allgemeinen Terme aus der Beispielaufgabe  und Teilaufgabe 1. jeweils?
# Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
# Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]]'''Plenumsphase'''
}}
<br><br>
{{Mathematik|
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <big>'''Information'''</big><br>
Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man eine '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
}}
<br>
{{Aufgaben-M|19|
# Bestimmen Sie mit Hilfe des [http://tube.geogebra.org/student/m716531 Applets], wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
# Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.
}}
<br>
<br>
==Üben und Vertiefen==
{{Aufgaben-M|20|
{{Differenzieren|}}'''Aufgaben zum Trainieren'''<br>
Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben zunächst in Einzelarbeit. Vergleichen Sie dann die Ergebnisse mit Ihrem Teampartner.
* Seite 45 Aufgabe 1 (Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
* Seite 45 Aufgabe 2 (Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4 )
}}
<br>
{{Aufgaben-M|21|
{{Differenzieren|}}'''Anwendungsaufgabe'''
<br>
* Seite 45 Aufgabe 3 (Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4 )
}}
<br>
{{Aufgaben-M|22|
{{Untersuchen|}}{{Begründen|}}Betrachten Sie  noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:
* Was waren die Problemstellungen?
* Was waren die ersten Lösungsansätze?
* Wie sieht die mathematische Lösung aus?
}}
<br>
{{Aufgaben-M|23|
{{Testen|}}Schätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden [[Media:Selbsteinschätzungsbogen Differentialrechnung.pdf|Selbsteinschätzungsbogen]] ein.
}}
<br>
<br>
{{Mitgewirkt|
*[[Benutzer:JochenDoerr|Jochen Dörr]]
*[[Benutzer:Tobias.Rolfes|Tobias Rolfes]]
*[[Benutzer:D.Schmerenbeck|Dirk Schmerenbeck]]
*[[Benutzer:Roland Weber|Roland Weber]]}}
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital/Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik-digital,Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik,Einführung,Differentialrechnung,Lernpfad</metakeywords>
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Analysis]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:10 Uhr

Lernpfad

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist.

Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.

Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.

Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt.

Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.

Mathematik-digital

Einführung in die Differentialrechnung

Meteor.jpg

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Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs Medienvielfalt im Mathematikunterricht, Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.

Autoren: Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber

Einstieg
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