Main>Roland Weber |
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| Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
| | {{Box|1=Lernpfad|2= |
| | Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. |
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| == Einstiegsaufgaben ==
| | Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. |
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| ===== Blumenvase =====
| | Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie '''mittlere und momentane Änderungsrate''', '''Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient''' und '''Ableitung''' kennen. |
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| | Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt. |
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| In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
| | Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. |
| <math>h(t)=0,001(t+8)^3</math>
| | [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]] |
| | |3=Lernpfad}} |
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| Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
| | {{Einführung in die Differentialrechnung}} |
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| ===== Barringer-Krater =====
| | Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben. |
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| [[Datei:Meteor.jpg|400px]]
| | '''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber |
| | {{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}} |
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| In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
| | [[Kategorie:Differentialrechnung]] |
| | | [[Kategorie:Mathematik-digital]] |
| Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
| | [[Kategorie:Mathematik]] |
| <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0<=x<=300</math>
| | [[Kategorie:Sekundarstufe 2]] |
| | | [[Kategorie:Lernpfad]] |
| ''Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin''
| | [[Kategorie:Analysis]] |
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| Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
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| == Durchschnittliche Änderungsrate ==
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| ===== Blumenvase =====
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| <ggb_applet width="1355" height="606" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?<br>
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| ...
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| == Sekantensteigung ==
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| ===== Barringer-Krater =====
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| ''Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)''
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| Die Steigung der Sekante durch die Punkte <math> A(x_0,f(x_0))</math> und <math> B(x_1,f(x_1))</math> des Graphen der Funktion kann man mit
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| <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| berechnen.
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| Verändere im Applet die Punkte A und B und ...
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| Berechne ..., indem du die Funktionswerte mit Hilfe der Funktionsvorschrift berechnest.
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| Vorlage: [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/03_differenzenquotient.htm Differenzenquotient]
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| Übungen? [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/ Übung]
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/04_sekante.htm Sekante] | |
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| Übung? [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/04_sekante_uebung.htm Übung Sekante]
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| == Differenzenquotient ==
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| Plenumsphase?
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| Möglicher Inhalt:
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| Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
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| == Differentialquotient ==
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten
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| Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
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| * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt,
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| * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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| Schreibe die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.
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| Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen in deinem Heft.
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| Andere Schreibweise:
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| Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
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| Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| Vergleiche die beiden Applets und utnersuche die Veränderungen.
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| }}
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1] | |
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2] | |
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| == Ableitungsfunktion ==
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