Main>Leonie Porzelt |
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| __NOTOC__ | | __NOTOC__ |
| {{Lernpfad-M| | | {{Box|1=Abbildung durch zentrische Streckung|2= |
| ===Abbildung durch zentrische Streckung===
| | [[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|right|250px]] |
| }}
| | In diesem Lernpfad durchläufst du 6 Stationen. |
| <br>
| | Unten siehst du alle Stationen in einer Übersicht. |
| [[Bild:Porzelt_Zentrische_Streckung.jpg|center]] | | Die 6. Station ist eine Station für Profis mit extra Informationen.|3=Lernpfad}} |
| <br>
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| ==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung==
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| :Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann leuchtet
| |
| :sie direkt auf einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten.
| |
| :Verschiebe Panto näher an den Strohhalm heran, oder weiter von dem Strohhalm weg.
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| <br>
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| <br>
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| <ggb_applet height="500" width="800" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Taschenlampe.ggb" />
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| :'''''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und hake die richtigen Aussagen ab:'''''
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| <quiz display="simple">
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| { '''Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?'''}
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| +Je '''näher''' Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto '''größer''' ist der Schatten.
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| -Je '''näher''' Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto '''kleiner''' ist der Schatten.
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| +Je '''weiter''' Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto '''kleiner''' ist der Schatten.
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| -Je '''weiter''' Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto '''größer''' ist der Schatten.
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| </quiz>
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| <br>
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :Der Strohhalm wird als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet.
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| :Wie man sieht haben der Strohhalm und der Schatten verschiedene Größen, doch sie sind sich ähnlich.
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| :Deshalb spricht man von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''.
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| :Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von
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| :einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet.
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| :Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese
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| :Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''.
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| </div>
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| <br>
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| ==2. Station: Streckungsfaktor==
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| :In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
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| :Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
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| <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| {| <br>
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| |<ggb_applet height="320" width="700" showResetIcon="true" filename="Porzelt_positiverStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (auf derselben Seite) (!auf verschiedenen Seiten)
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| Was liegt bei k>1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität)
| | {{Abbildungen durch zentrische Streckung}} |
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| Was liegt bei 0<k<1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität)
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| Was liegt bei k=1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (die Identität)
| | ==1. Station: Ähnlichkeitsabbildung== |
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| Was passiert wenn k=0 ist? (es erfolgt '''keine''' zentrische Streckung) (!es erfolgt '''eine''' zentrische Streckung)
| | Hier siehst du Panto mit einer Taschenlampe. Schalte die Taschenlampe ein, dann beleuchtet |
| | sie direkt einen grünen Strohhalm. An der Wand entsteht dabei ein Schatten. |
| | Schiebe Panto näher an den Strohhalm heran und dann weiter von dem Strohhalm weg! |
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| </div> | | <ggb_applet height="500" width="800" showResetIcon="true" id="eamfm2tn" /> |
| |}
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| </div>
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| <br>
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| | '''Lies die folgenden Beobachtungen konzentriert durch und setze einen Hacken bei den richtigen Aussagen:''' |
| :Was sind die Unterschiede, wenn ihr dieses Dreieck zentrisch streckt? Dieses mal durchläuft der
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| :Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.
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| <br>
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| <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| {| <br>
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| |<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_negativerStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
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| <div class="multiplechoice-quiz"> | | <div class="multiplechoice-quiz"> |
| | | '''Wie ändert sich der Schatten durch das Verschieben?''' |
| Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild? (!auf derselben Seite) (auf verschiedenen Seiten)
| | (Je '''näher''' Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto '''größer''' ist der Schatten.) |
| | | (!Je '''näher''' Panto mit der Taschenlampe auf den Strohhalm leuchtet, desto '''kleiner''' ist der Schatten.) |
| Was liegt bei k< -1 vor? (eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung)
| | (Je '''weiter''' Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto '''kleiner''' ist der Schatten.) |
| | | (!Je '''weiter''' Panto mit der Taschenlampe von dem Strohhalm entfernt ist, desto '''größer''' ist der Schatten.) |
| Was liegt bei 0>k> -1 vor? (!eine Vergrößerung) (eine Verkleinerung) (!die Identität) (!eine Spiegelung)
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| Was liegt bei k= -1 vor? (!eine Vergrößerung) (!eine Verkleinerung) (!die Identität) (eine Spiegelung)
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| </div>
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| |}
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| </div> | | </div> |
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| :Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
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| :sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
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| :Zur Hilfe orientiere dich an dieser Frage:
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| :Was ist der Unterschied zwischen der Länge der Bildstrecke zur Urbildstrecke?
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| <br>
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| <ggb_applet height="400" width="850" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Streckungsfaktor.ggb" />
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| Was passiert mit der Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>? (Sie bleibt immer gleich) (!Sie ist variabel)
| | :'''''Den folgenden Text musst du genau durchlesen, denn am Ende wirst du darüber abgefragt.''''' |
| | [[Bild:Porzelt_Panto-1.jpg|right]] |
| | {{Box|1=Merke|2= |
| | :Der Strohhalm wird als '''Urbild''' und der Schatten als '''Bild''' bezeichnet. |
| | :Wie man sieht, unterscheiden sich der Strohhalm und der Schatten nur in ihrer Größe aber nicht in ihrer Form. |
| | :Sie sind sich ähnlich. Deshalb spricht man hier von einer '''Ähnlichkeitsabbildung'''. |
| | :Die Vergrößerung geht von einem Zentrum, in unserem Beispiel der Taschenlampe, aus. Man spricht hierbei von |
| | :einer '''zentrischen Streckung'''. Das '''Streckungszentrum''' wird mit '''Z''' bezeichnet. |
| | :Urbild, Bild und Streckungszentrum liegen auf den Lichtstrahlen, die von der Taschenlampe ausgehen. Diese |
| | :Lichtstrahlen sind '''Halbgeraden'''.|3=Merksatz}} |
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| Was passiert mit der Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>? (!Sie bleibt immer gleich) (Sie ist variabel)
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| Wie verhält sich k? (!Es bleibt immer gleich) (Es ist variabel)
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| </div>
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| :Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen: | | [[Bild:Porzelt_PanDiAuto.jpg|left|250px]] |
| :{{Lösung versteckt|Die Bildstrecken sind jeweils <nowiki>|k|</nowiki>-mal so lang wie die Urbildstrecken.}}
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| :'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
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| </div>
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| ==3. Station: Berechnung der Streckenlängen und des Streckungsfaktors==
| | '''Panto und Dia machen eine Spritztour, um die zentrische Streckung im Alltag zu finden. Was die beiden entdeckt haben, siehst du auf der nächsten Seite.''' |
| :Wie ihr in der 2. Station schon herausgefunden habt ist die Bildstrecke |k|-mal so lang wie die Urbildstrecke.
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| :Geometrisch bedeutet dies: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span>
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| <span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">PQ</span> <br>
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| <math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = '''|k|''' ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZQ</span> - |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
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| <math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ ('''<span style="text-decoration: overline;">ZQ</span>''' - '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>'''<br>
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| <math>\Leftrightarrow </math><span style="text-decoration: overline;">P'Q'</span> = |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">PQ</span>'''
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| </div>
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| | {{Fortsetzung|weiter=Exkurs: Weitere Beispiele einer zentrischen Streckung|weiterlink=/Weitere Beispiele}} |
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| ==4. Station: Zusammenfassung==
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| :Schreibe dir diese Zusammenfassung in dein Heft.
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| <div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| '''Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung'''<br>
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| Wenn eine Vergrößerung von einem Zentrum ausgeht, dann spricht man von einer '''zentrischen Streckung'''. <br>
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| Sie wird festgelegt durch Angabe eines '''Streckungszentrums Z''' und eines '''Streckungsfaktors k'''. (Kurz: )<br>
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| Der '''Urpunkt P''', der '''Bildpunkt P'''' und das Streckungszentrum Z liegen auf einer Geraden. <br>
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| Es gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> <br>
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| Bei |k|>1 liegt eine Vergrößerung, bei 0<|k|<1 eine Verkleinerung vor. <br>
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| Wenn k=1 ist liegt die Identität vor, bei k= -1 eine Spiegelung. <br>
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| Für k>0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf der gleichen Seite von Z. <br>
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| Für k<0 gilt: Urpunkt und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten von Z. <br>
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| </div>
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| ==5. Station: Übung==
| | [[Kategorie:Mathematik-digital]] |
| <div class="schuettel-quiz">
| | [[Kategorie:Sekundarstufe 1]] |
| :Das Bild zeigt eine '''zentrische''' '''Streckung'''. | | [[Kategorie:Lernpfad]] |
| </div>
| | [[Kategorie:Zentrische Streckung]] |
| [[Bild:Porzelt_Taschenlampe_Quiz.jpg|center]] | | [[Kategorie:Interaktive Übung]] |
| <div class="kreuzwort-quiz">
| | [[Kategorie:GeoGebra]] |
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| | Streckungsfaktor || Was kann man mit Hilfe des Schiebereglers einstellen?
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| | Streckungszentrum || Was stellt die Taschenlampe dar?
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| | Halbgerade || Was ist der Lichtstrahl?
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| |-
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| | Urbild || Als was kann man den Strohhalm noch bezeichnen?
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| |-
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| | Bild || Als was kann man den Schatten noch bezeichnen?
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| |}
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| </div>
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