Quadratische Funktionen erkunden/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Quadratische Funktionen erkunden}}
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__NOTOC__
 
{{Box| |In diesem Kapitel kannst du herausfinden, wie du quadratische Funktionen in '''Scheitelpunktform''' in quadratische Funktionen in '''Normalform''' umwandeln kannst. |Kurzinfo}}
{| {{Bausteindesign6}}
| In diesem Kapitel kannst du herausfinden, wie du quadratischen Funktionen in '''Scheitelpunktform''' in quadratische Funktionen in '''Normalform''' umwandeln kannst.  
 
|}




==Beispiel==


{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#BEF28C}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
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|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu miscellaneous.png|30px]] &nbsp; Beispiel
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Für den Basketballwurf konnten näherungsweise diese beiden Funktionsterme gefunden werden:
Für den Basketballwurf konnten näherungsweise diese beiden Funktionsterme gefunden werden:
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|<math>=-0,32x^2+4,16x-13,52+6,45</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen
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Ein Blick auf das zweite Bild oben zeigt, dass das '''Ergebnis''' der Ausmultiplikation genau der '''Term in Normalform''' ist.
Ein Blick auf das zweite Bild oben zeigt, dass das '''Ergebnis''' der Ausmultiplikation genau der '''Term in Normalform''' ist.
|}<noinclude>
|}




{{Aufgaben|1|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
{{Box|Aufgabe 1|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


'''a)''' Lies dir das Beispiel oben durch und versuche es nachzuvollziehen.  
'''a)''' Lies dir das Beispiel oben durch und versuche es nachzuvollziehen.  


'''b)''' Nimm deine Lösung zu der [[Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|1. Aufgabe bei der Scheitelpunktform]] in deinen Hefter und wähle zwei deiner Terme aus. Multipliziere diese Funktionsterme wie im Beispiel aus und notiere deine Rechnung.
'''b)''' Nimm deine Lösung zu der [[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|1. Aufgabe bei der Scheitelpunktform]] in deinem Hefter (S. 9) und wähle zwei deiner Terme aus. Multipliziere diese Funktionsterme wie im Beispiel aus und notiere deine Rechnung.
 
'''c)''' Vergleiche die Ergebnisse deiner Ausmultiplikation mit deinen Termen für die [[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform|4. Aufgabe bei der Normalform]] (S.14).
{{Lösung versteckt|Es kann sein, dass dein Ergebnis etwas von deinem eigenem Normalformterm abweicht. Das liegt dann daran, dass du die Parabel bei der Aufgabe auf der Normalformseite nicht genau gleich in das Bild gelegt hast wie auf der Scheitelpunktseite. Du solltest dich jedoch in dem angegebenen Spielraumbereich der Lösungsvorschläge befinden.|Hinwes anzeigen|Hinweis verbergen}}
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!'''Funktionsterm Angry Birds'''!!'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''!!'''Funktionsterm Golden Gate Bridge'''!!'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
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{{!}}}|2=Lösungsvorschlag anzeigen|3=Lösungsvorschlag verbergen}}
|Arbeitsmethode
}}
 
Das folgende Applet kannst du nutzen, um deine Ergebnisse aus Aufgabe 1 zu kontrollieren. Außerdem kannst du mit den Parametern beider Darstellungsformen experimentieren und zum Beispiel untersuchen, wie du die Parameterwerte verändern musst, um beide Graphen an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem übereinander zu legen.
 
<ggb_applet id="R9CvVq59" width="800" height="570" border="888888" />
 


'''c)''' Vergleiche die Ergebnisse deiner Ausmultiplikation mit deinen Termen für die [[Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform|4. Aufgabe bei der Normalform]].
==Erklärvideo==


<popup name="Hinweis">Es kann sein, dass dein Ergebnis etwas von deinem eigenem Normalformterm abweicht. Das liegt dann daran, dass du die Parabel bei der Aufgabe auf der Normalformseite nicht genau gleich in das Bild gelegt hast wie auf der Scheitelpunktseite. Du solltest dich jedoch in dem angegebenen Spielraumbereich der Lösungsvorschläge befinden.</popup>
Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel ''Mathe by Daniel Jung'' zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt.
<popup name="Lösungsvorschläge">
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|'''Funktionsterm Angry Birds'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Golden Gate Bridge'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
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|<math>f(x)=-0,13(x-7)^2+4,85</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,04(x-5,7)^2+1</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
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|<math>=-0,13((x-7)\cdot(x-7))+4,85</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,04((x-5,7)\cdot(x-5,7))+1</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=-0,13(x^2-14x+49)+4,85</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,04(x^2-11,4x+32,49)+1</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=-0,13x^2+1,82x-6,37+4,85</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,04x^2-0,456x+1,3+1</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen
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|<math>=-0,13x^2+1,82x-1,52</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,04x^2-0,456x+2,3</math>
|}


Falls dir die Umformung von der Scheitelpunkt- auf die Normalform schwer fiel, kannst du dir hier ein Video dazu anschauen und es dann noch einmal probieren. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.


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|'''Funktionsterm Springbrunnen'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Elbphilharmonie (links)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
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|<math>=-0,33((x-4,85)\cdot(x-4,85))+5,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,4((x-2,5)\cdot(x-2,5))+4,35</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=-0,33(x^2-9,7x+23,52)+5,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,4(x^2-5x+6,25)+4,35</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=-0,33x^2+3,2x-6,37-7,76</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,4x^2-2x+2,5+4,35</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen
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|<math>=-0,33x^2+3,2x-2,46</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,4x^2-2x+6,85</math>
|}


{{#ev:youtube|_rvvZn1zTRc|800|center}}


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|'''Funktionsterm Elbphilharmonie (mitte)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Elbphilharmonie (rechts)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
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|<math>f(x)=0,33(x-5,85)^2+3,4</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,22(x-9,4)^2+3,6</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
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|<math>=0,33((x-5,85)\cdot(x-5,85))+3,4</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,22((x-9,4)\cdot(x-9,4))+3,6</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=0,33x^2-3,86x+11,29+3,4</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,22x^2-4,14x+19,44+3,6</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen
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|<math>=0,33x^2+3,86x+14,69</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,22x^2-4,14x+23,04</math>
|}


==Achtung: Parameter <math>c</math> und Parameter <math>e</math> im Vergleich==
{{Box|Aufgabe 2|
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15-16)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


{|
[[Datei:Unterhaltung c ungleich e.PNG|rahmenlos|650px|Parameter QF]]
|-
|'''Funktionsterm Gebirge'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Motorrad'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
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|<math>f(x)=-0,2(x-5,4)^2+2,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=-0,07(x-7,7)^2+5,95</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
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|<math>=-0,2((x-5,4)\cdot(x-5,4))+2,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=-0,07((x-7,7)\cdot(x-7,7))+5,95</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=-0,2(x^2-10,8x+29,16)+2,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=-0,07(x^2-15,4x+59,29)+5,95</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
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|<math>=-0,2x^2+2,16x-5,83+2,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=-0,07x^2+1,08x-4,15+5,95</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vereinfachen
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|-
|<math>=-0,2x^2+2,16x-3,53</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=-0,07x^2+1,08x+1,79</math>
|}</popup>}}


'''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian, Merle und Lucio durch.


Das folgende Applet kannst du nutzen, um deine Ergebnisse aus Aufgabe 1 zu kontrollieren. Außerdem kannst du mit den Parametern beider Darstellungsformen experimentieren und zum Beispiel untersuchen, wie du die Parameterwerte verändern musst, um beide Graphen an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem übereinander zu legen.
'''b)''' Denke dir zwei Funktionsterme quadratischer Funktionen aus für die gilt: (1) <math>c=e</math> bzw. (2) <math>c \neq e</math>. Gib jeweils die Werte für <math>c</math> und <math>e</math> an.


<iframe scrolling="no" title="SPF und NF im Vergleich" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/R9CvVq59/width/800/height/570/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="570px" style="border:0px;"> </iframe>
'''c)''' Zeichne die Parabeln zu deinen Funktionstermen aus b) in ein Koordinatensystem.
{{Lösung versteckt|Dein Ergebnis kann zum Beispiel so aussehen:


[[Datei:Beispiellösung Parameter c und e.PNG|rahmenlos|500px|Beispiel]]


{{Merke|Parabeln können auf verschiedene Weisen in Termen dargestellt werden. Die beiden Formen, die du bisher kennengelernt hast, heißen
Bei der Funktion <math>f(x)=x^2-5</math> sind <math>c=e=-5</math>.  


*[[Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] und  
Bei <math>g(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4</math> ist <math>c=4</math> und <math>e=0</math>.


*[[Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform|Normalform]].


Eine Parabel kann immer in beiden Darstellungsformen beschrieben werden.}}
Nutze das GeoGebra-Applet um deine eigene Lösung zu kontrollieren:


{{Merke|Durch Ausmultiplikation des Terms einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform, erhält man den zugehörigen Term in Normalform.}}
<ggb_applet id="DRDCQZvn" width="700" height="500" border="888888" />|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode
}}


{{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


==Merksätze==
{{Box|Aufgabe 3|Lies dir die folgenden Merksätze aufmerksam durch.
|Arbeitsmethode}}


Notiere die Merksätze in deine Merkliste und ergänze sie durch ein Beispiel.}}
{{Box|Merke|
Quadratische Funktionen können auf verschiedene Weisen in Termen dargestellt werden. Die beiden Formen, die du bisher kennengelernt hast, heißen
*[[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] und
*[[Mathematik-digital/Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform|Normalform]].
Eine Parabel kann immer in beiden Darstellungsformen beschrieben werden.|Merksatz}}


{{Box|Merke|
Durch Ausmultiplikation des Terms einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform erhält man den zugehörigen Term in Normalform.|Merksatz}}


{{Box|Merke|
Für den Parameter c gilt:
[[Datei:Beispiel c ungleich e.PNG|rahmenlos|600px|Parameter QF]]
|Merksatz}}




[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erkunden/Übungen]]


{{Fortsetzung|weiter=Übungen|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Übungen}}




Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 30. März 2022, 21:39 Uhr

gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital

In diesem Kapitel kannst du herausfinden, wie du quadratische Funktionen in Scheitelpunktform in quadratische Funktionen in Normalform umwandeln kannst.


Beispiel

Für den Basketballwurf konnten näherungsweise diese beiden Funktionsterme gefunden werden:

Basketballwurf Parabel Basketballwurf Parabel

Die Funktionsterme müssen irgendwie ineinander überführbar sein, da sie die gleiche Parabel beschreiben.

Durch Ausmultiplikation der Scheitelpunktform erhalten wir:


Funktionsterm    Schritt-für-Schritt-Anleitung
   Klammer auflösen
   innere Klammer ausmultiplizieren
   Klammer ausmultiplizieren
   Zusammenfassen


Ein Blick auf das zweite Bild oben zeigt, dass das Ergebnis der Ausmultiplikation genau der Term in Normalform ist. |}


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15) Notizblock mit Bleistift.

a) Lies dir das Beispiel oben durch und versuche es nachzuvollziehen.

b) Nimm deine Lösung zu der 1. Aufgabe bei der Scheitelpunktform in deinem Hefter (S. 9) und wähle zwei deiner Terme aus. Multipliziere diese Funktionsterme wie im Beispiel aus und notiere deine Rechnung.

c) Vergleiche die Ergebnisse deiner Ausmultiplikation mit deinen Termen für die 4. Aufgabe bei der Normalform (S.14).

Es kann sein, dass dein Ergebnis etwas von deinem eigenem Normalformterm abweicht. Das liegt dann daran, dass du die Parabel bei der Aufgabe auf der Normalformseite nicht genau gleich in das Bild gelegt hast wie auf der Scheitelpunktseite. Du solltest dich jedoch in dem angegebenen Spielraumbereich der Lösungsvorschläge befinden.
Funktionsterm Angry Birds Schritt-für-Schritt-Anleitung Funktionsterm Golden Gate Bridge Schritt-für-Schritt-Anleitung
Klammer auflösen Klammer auflösen
innere Klammer ausmultiplizieren innere Klammer ausmultiplizieren
Klammer ausmultiplizieren Klammer ausmultiplizieren
Zusammenfassen Zusammenfassen
     
Funktionsterm Springbrunnen Schritt-für-Schritt-Anleitung Funktionsterm Elbphilharmonie (links) Schritt-für-Schritt-Anleitung
Klammer auflösen Klammer auflösen
innere Klammer ausmultiplizieren innere Klammer ausmultiplizieren
Klammer ausmultiplizieren Klammer ausmultiplizieren
Zusammenfassen Zusammenfassen
     
Funktionsterm Elbphilharmonie (mitte) Schritt-für-Schritt-Anleitung Funktionsterm Elbphilharmonie (rechts) Schritt-für-Schritt-Anleitung
Klammer auflösen Klammer auflösen
innere Klammer ausmultiplizieren innere Klammer ausmultiplizieren
Klammer ausmultiplizieren Klammer ausmultiplizieren
Zusammenfassen Zusammenfassen
     
Funktionsterm Gebirge Schritt-für-Schritt-Anleitung Funktionsterm Motorrad Schritt-für-Schritt-Anleitung
Klammer auflösen Klammer auflösen
innere Klammer ausmultiplizieren innere Klammer ausmultiplizieren
Klammer ausmultiplizieren Klammer ausmultiplizieren
Zusammenfassen Zusammenfassen
     

Das folgende Applet kannst du nutzen, um deine Ergebnisse aus Aufgabe 1 zu kontrollieren. Außerdem kannst du mit den Parametern beider Darstellungsformen experimentieren und zum Beispiel untersuchen, wie du die Parameterwerte verändern musst, um beide Graphen an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem übereinander zu legen.

GeoGebra


Erklärvideo

Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel Mathe by Daniel Jung zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt.

Falls dir die Umformung von der Scheitelpunkt- auf die Normalform schwer fiel, kannst du dir hier ein Video dazu anschauen und es dann noch einmal probieren. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.


Video laden
YouTube


Achtung: Parameter und Parameter im Vergleich

Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15-16) Notizblock mit Bleistift.

Parameter QF

a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian, Merle und Lucio durch.

b) Denke dir zwei Funktionsterme quadratischer Funktionen aus für die gilt: (1) bzw. (2) . Gib jeweils die Werte für und an.

c) Zeichne die Parabeln zu deinen Funktionstermen aus b) in ein Koordinatensystem.

Dein Ergebnis kann zum Beispiel so aussehen:

Beispiel

Bei der Funktion sind .

Bei ist und .


Nutze das GeoGebra-Applet um deine eigene Lösung zu kontrollieren:

GeoGebra


Merksätze

Aufgabe 3

Lies dir die folgenden Merksätze aufmerksam durch.

Merke

Quadratische Funktionen können auf verschiedene Weisen in Termen dargestellt werden. Die beiden Formen, die du bisher kennengelernt hast, heißen

Eine Parabel kann immer in beiden Darstellungsformen beschrieben werden.

Merke
Durch Ausmultiplikation des Terms einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform erhält man den zugehörigen Term in Normalform.

Merke

Für den Parameter c gilt: Parameter QF


Übungen


Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

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