Einführung in die Differentialrechnung/Der Differentialquotient

Einführung in die Differentialrechnung

• Einstieg
• Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate
• Von der Sekanten- zur Tangentensteigung
• Der Differenzenquotient
• Der Differentialquotient
• Die Ableitungsfunktion
• Die h-Schreibweise
• Zum Abschluss

< Mathematik-digital

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Merke

Der Differentialquotient f'(x₀ ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient $f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Der Differentialquotient f'(x₀) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Der Differentialquotient f'(x₀ )

• beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x₀ und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x₀ und x₁ den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ annnährt,
• beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x₀|f(x₀)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) den Punkt B(x₁|f(x₁)) immer mehr dem Punkt A(x₀|f(x₀)) annähert.

Im folgendem Applet können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.

Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.

Aufgabe 12

Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.

Testen

Sie sollten nach dem Test sagen können:

Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären. Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann.

Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Differenzenquotient	Sekantensteigung	Durchschnittsgeschwindigkeit	mittlere Änderungsrate	$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Differentialquotient	Tangentensteigung	Momentangeschwindigkeit	$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$	momentane Änderungsrate

Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.

Die Ableitungsfunktion