Erdbeben und Logarithmus/Der Logarithmus

Erdbeben und Logarithmus

1. Entstehung von Erdbeben
2. Erdbeben in Österreich
3. Stärke von Erdbeben
4. Der Logarithmus
5. Logarithmische Skalen
6. Verhalten bei einem Erdbeben
7. Tsunamis (Optional)
8. Abschluss

Info: Einstieg

Im letzten Kapitel bist du bereits auf die Magnitude gestoßen. Es ist in der Tat so, dass bei einem Beben der Magnitude 6,8 um ein Vielfaches mehr Energie freigesetzt wird, als bei einem der Magnitude 5,8. Das erklärt den Unterschied im Zerstörungspotential zwischen den Erdbeben 2020 in der Türkei. Steigt die Richter-Magnitude um 1, entspricht das einer Ver-32-fachung der freigesetzten Energiemenge. Bei einer Richter-Magnitude von 5,0 werden beispielsweise 10¹² Joule freigesetzt. Bei 6,0 sind es bereits 2,5 $\cdot$ 10¹³ Joule und bei 7,0 beträgt die Energiefreisetzung 10¹⁵ Joule.

Wie genau die Richter-Magnitude definiert ist und was das mit dem Logarithmus zu tun hat, erfährst du hier in diesem Abschnitt.

Merke: Definition der Richter-Magnitude

Die Richter-Magnitude wird auch Lokal-Magnitude genannt. Diese Bezeichnung geht auf ihre Definition zurück. Sie lautet nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen:

In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist

$M = \lg A,$

wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.

Die Richter-Magnitude wird also anhand des maximalen Ausschlages (auch maximale Amplitude genannt), gemessen von einem Seismographen nach Wood und Anderson, berechnet. Dabei handelt es sich jedoch um ein veraltetes Gerät, welches heute durch modernere Seismometer ersetzt wird. Was der Logarithmus in dieser Formel bedeutet, wollen wir uns jetzt ansehen.

Merke: Definition des Logarithmus

Der Logarithmus $\log_{a} x$ ("Logarithmus von x zur Basis a") mit $a,x \in \mathbb{R}^{+}$, $a \neq 1$ ist jene Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. Es gilt $\log_{a} x = y \Longleftrightarrow a^{y} = x$ und $a^{\log_{a} x} = x$. Die Zahl a wird in diesem Zusammenhang als Basis bezeichnet und x als Numerus.

Es gibt einige Logarithmen, welche besonders oft gebraucht werden. Beispielsweise den Logarithmus zur Basis 10, er wird dekadischer Logarithmus (Kurzform: lg) genannt. Oder jenen zur Basis e, er wird als natürlicher Logarithmus (Kurzform: ln) bezeichnet. Wobei e die Euler'sche Zahl ist. Das ist eine irrationale Zahl mit $e \approx 2,718$.

Du willst noch mehr über die Euler'sche Zahl wissen? Für weitere Infos, klicke hier: Lernvideo: e - die Euler'sche Zahl

Sieh dir zum besseren Verständnis das folgende Video an:

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Aufgabe 9

Übungen Logarithmus A

Sieh dir das Musterbeispiel an. Berechne anschließend die folgenden Logarithmen ohne Technologieeinsatz. Am Arbeitsplan (Aufgabe 9: Übungen Logarithmus A) hast du Platz dafür.

Musterbeispiel: $\log_{2} 8$
1. Möglichkeit: Überlege dir, mit welcher Zahl du 2 potenzieren musst, um 8 zu erhalten. Also ist $\log_{2} 8 = 3$.
2. Möglichkeit: $\log_{2} 8 = y \Longleftrightarrow 2^{y} = 8 \Longleftrightarrow y = 3$. Also ist $\log_{2} 8 = 3$.

a) $\log_{3} 9$

b) $\log_{4} 64$

c) $\log_{4} \frac{1}{4}$

d) $\log_{3} \frac{1}{9}$

e) $\log_{2} \sqrt{2}$

f) $\log_{10} \sqrt{1000}$

g) $\log_{a} a$

h) $\log_{a} 1$

a) $2$

b) $3$

c) $-1$

d) $-2$

e) $\frac{1}{2}$

f) $\frac{3}{2}$

g) $1$

h) $0$

Teste dein Wissen! (Übungen Logarithmus B)

Merke: Rechenregeln für Logarithmen

Wie beim Rechnen mit Potenzen, gibt es auch für Logarithmen gewisse Rechenregeln.

Es seien $a \in \mathbb{R}^{+}, a \neq 1, x, x_{1}, x_{2}, \in \mathbb{R}^{+}$ und $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Dann gilt:

1. $\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) = \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2}$.
2. $\log_{a} \frac{x_{1}}{x_{2}} = \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2}$.
3. $\log_{a} x^{r} = r \cdot \log_{a} x$.
4. $\log_{a} 1 = 0, \log_{a} a = 1$.

Aufgabe 10

Übungen Logarithmus C

Wie du wahrscheinlich schon einmal gehört hast, wollen Mathematikerinnen und Mathematiker nichts glauben, sondern immer alles beweisen. Wir versuchen jetzt ebenso, die Rechenregeln für Logarithmen zu beweisen. Das funktioniert mithilfe der Rechenregeln für Potenzen. Falls dir diese nicht mehr geläufig sind, klicke hier.

Sieh dir zuerst das Musterbeispiel (1. Regel) an, um eine Vorstellung zu bekommen, wie die Beweise funktionieren. Versuche anschließend die restlichen Regeln zu beweisen. Am Arbeitsplan (Aufgabe 10: Übungen Logarithmus C) hast du Platz dafür.

Musterbeispiel: 1. $\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) = \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2}$.
Beweis: Wir definieren die Logarithmen zunächst folgendermaßen $y_{1} := \log_{a} x_{1}, y_{2} := \log_{a} x_{2}$, das heißt $a^{y_{1}} = x_{1}, a^{y_{2}} = x_{2}$ (Definition des Logarithmus).

$\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) =$ (Einsetzen der obigen Definition) $= \log_{a} (a^{y_{1}} \cdot a^{y_{2}}) =$ (Anwendung der Rechenregel für Potenzen) $= \log_{a} (a^{y_{1}+y_{2}}) =$ (Definition des Logarithmus) $= y_{1} + y_{2} =$ (Einsetzen der obigen Definition) $= \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2}$.

a) Versuche nun, die Regeln 2. - 4. zu beweisen. Falls du Hilfe brauchst, klicke unten auf "Hilfe anzeigen".

Zu 2.: Der Beweis der 2. Regel funktioniert ganz ähnlich wie der der 1. Verwende wieder die Definitionen $y_{1} := \log_{a} x_{1}, y_{2} := \log_{a} x_{2}$. Überlege dir vorab, wie das Potenzgesetz für die Division mit gleicher Basis lautet.

Zu 3.: Setze für $x = a^{\log_{a} x}$ (Definition des Logarithmus) in die linke Seite der Gleichung ein. Wende dann die Rechenregel für das Potenzieren von Potenzen an und anschließend die Definition des Logarithmus.

Zu 4.: Diese Beweise sind kurz. Überlege dir, was $a^{0}$ und $a^{1}$ ist und du hast die Behauptungen mithilfe der Definition des Logarithmus bewiesen.

Zu 2.: $\log_{a} \frac{x_{1}}{x_{2}} = \log_{a} \frac{a^{y_{1}}}{a^{y_{2}}} = \log_{a} (a^{y_{1}-y_{2}}) = y_{1} - y_{2} = \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2}$.

Zu 3.: $\log_{a} x^{r} = \log_{a} ((a^{\log_{a} x})^{r}) = \log_{a} (a^{r \cdot \log_{a} x}) = r \cdot \log_{a} x$.

Zu 4.: Die Behauptung folgt mittels Definition des Logarithmus aus $a^{0} = 1$ und $a^{1} = a$.

b) Sieh dir, um die Rechenregeln besser zu verinnerlichen, noch das folgende Video an. Übertrage alle Beispiele aus dem Video auf den Arbeitsplan (Aufgabe 10: Übungen Logarithmus C).

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Aufgabe 11

Übungen Logarithmus D

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen. Am Arbeitsplan (Aufgabe 11: Übungen Logarithmus D) hast du Platz dafür.

a) $\log_{a} x + \log_{a} \frac{1}{x}$

b) $\log_{a} x^{4} - \log_{a} x^{2}$

c) $2 \cdot \log_{a} \sqrt{x}$

d) $\log_{a} a^{x}$

e) $\log_{10} (100a) - \log_{10} a$

f) $2 + \log_{10} \frac{1}{100}$

g) $\log_{10} \frac{u \cdot v}{w} + \log_{10} w - \log_{10} v$

h) $\log_{10} (x-y)^{2} - \log_{10} (x-y)$

a) $0$

b) $\log_{a} x^{2}$

c) $\log_{a} x$

d) $x$

e) $2$

f) $0$

g) $\log_{10} u$

h) $\log_{10} (x-y)$

Aufgabe 12

Übungen Logarithmus E

Wir haben bei der Definition von $\log_{a} x$, aber auch bei den Rechenregeln gesehen, dass $a,x \in \mathbb{R}^{+}$, $a \neq 1$ sein müssen.

1. Warum dürfen a und x keine negativen reellen Zahlen sein? Warum darf a nicht gleich 1 sein?
2. Versuche, diese Fragen gemeinsam mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler zu beantworten.
3. Macht euch Notizen und formuliert eure Vermutungen am Arbeitsplan (Aufgabe 12: Übungen Logarithmus E).

• Warum muss $a \in \mathbb{R}^{+}$ gelten? - Wenn a, also die Basis, negativ wäre, könnten wir nur Exponenten aus $\mathbb{Z}$ verwenden. Exponenten aus $\mathbb{Q}$ oder $\mathbb{R}$ sind für negative Basen nicht definiert. Bei diesen Beispielen $(-2)^{0}=+1, (-2)^{1}=-2, (-2)^{2}=+4, (-2)^{3}=-8, (-2)^{4}=+16$, usw. erhalten wir immer nur bestimmte positive und negative Zahlen als Ergebnis. Für andere als diese Ergebnisse gibt es keine möglichen Exponenten. Der Logarithmus zu einer negativen Basis macht somit meistens keinen Sinn.
• Warum muss $x \in \mathbb{R}^{+}$ gelten? - Der Logarithmus zu einer negativen Basis ist nicht definiert. Wir erhalten mit positiven Basen nur positive Zahlen als Potenzwerte. Daher kann der Numerus nur eine positive Zahl sein.
  • Für $a>0, y>0$ ist $x = a^{y}$ immer positiv.
  • Für $a>0, y<0, y=-z, z>0$ ist $x = a^{y} = a^{-z} = \frac{1}{a^{z}}$ ebenso positiv.
• Warum muss $a \neq 1$ gelten? - Potenziert man 1 mit einer beliebigen reellen Zahl, so erhält man immer wieder 1. $1^{y} = x$ hat keine Lösung, falls $x \neq 1$ und unendlich viele Lösungen, falls $x = 1$. Somit ist der Logarithmus zur Basis 1 nicht definiert. Ähnliches gilt für die Basis 0.

Aufgabe 13

Übungen Logarithmus F

Logarithmen im Kopf auszurechnen, ist nur in einfachen Fällen möglich. Vor der Entwicklung elektronischer Rechenhilfsmittel benutzte man sogenannte Logarithmentafeln zur Bestimmung von Logarithmen. Aufwändig gewonnene Logarithmenwerte waren darin systematisch notiert. Heutige Taschenrechner verwenden ähnliche mathematische Verfahren wie auch schon die Autorinnen und Autoren entsprechender Logarithmentafeln. Dabei werden die Werte hinreichend genau angenähert.

Absolviere das folgende Quiz mithilfe von GeoGebra oder deinem Taschenrechner. Informiere dich zuerst, wie man Logarithmen mit dem gewählten Hilfsmittel berechnen kann. Runde auf 2 Dezimalstellen.

Achtung: Es geht hier um den dekadischen Logarithmus (lg) und den natürlichen Logarithmus (ln)!

Merke: Exponentialgleichungen

Du kannst bereits lineare oder quadratische Gleichungen lösen. Aber was ist, wenn die Unbekannte plötzlich im Exponenten steht? - Alles kein Problem mit dem Logarithmus!

Wir versuchen nun, die Gleichung $6^{2x+1} = 360$ für $x \in \mathbb{R}$ näherungsweise zu lösen.

Dabei gehen wir folgendermaßen vor: Wir logarithmieren die Gleichung, das heißt, wir wenden den Logarithmus auf beiden Seiten an. Die Basis des Logarithmus können wir beliebig wählen (Exponentialgleichungen mit der Basis e löst man am einfachsten mit dem natürlichen Logarithmus.). In unserem Fall verwenden wir den dekadischen Logarithmus. Anschließend benutzen wir die Rechenregeln für Logarithmen. Durch weitere Äquivalenzumformungen und mit Technologieeinsatz können wir die Gleichung näherungsweise lösen.

Stärke von Erdbeben

Logarithmische Skalen