Zentrische Streckung/Vierstreckensatz

Lernpfad: Vierstreckensatz

In diesem Lernpfad durchläufst du 5 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:

• 1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung
• 2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung
• 3. Station: Zweiter Vierstreckensatz
• 4. Station: Zusammenfassung
• 5. Station: Übung

1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung

Zoll ist eine Längeneinheit, die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.
Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.
Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

• die algebraische Berechnung
  
• oder die geometrische.
  

Als Beispiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15-Zoll-Laptop.

• Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:

Aufgabe

Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.

Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.

Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

• Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.

Aufgabe

1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden die Längen 1 cm und 15 cm ab! Benenne die Endpunkte der Strecken mit $A$ und $B$
2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B
3. Schritt: Trage in $Z$ die Strecke $[ZA']$ mit ${\overline {ZA'}}=2,54\ cm$ ab
4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch $A'$ zu $[AB]$
5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit $B'$
6. Schritt: Miss ${\overline {ZB'}}$ ab

Die Rechnung, die dahinter steckt:

Vorausgesetzt wird, dass die Gerade ${A'B'}$ zu ${AB}$ parallel ist. Das Dreieck ${A'ZB'}$ kann somit als das Bild des Dreiecks $AZB$ (Urbild) mit dem Streckungszentrum $Z$ aufgefasst werden. Der Punkt $A$ wurde also auf den Punkt $A'$ und Punkt $B$ wurde auf Punkt $B'$ abgebildet.

Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das Längenverhältnis von Strecken bei einer zentrischen Streckung, wegen der
Eigenschaft der Längenverhältnistreue, gleich ist.

Aufgabe

Was bedeutet dies? Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:

${\overline {ZA'}}$ = $\mid k\mid \cdot {\overline {ZA}}$ ${\mathit {und}}$ ${\overline {ZB'}}=$ $\mid k\mid \cdot {\overline {ZB}}$
Aufgelöst nach $\mid k\mid$:
$\mid k\mid =$ ${{\overline {ZA'}} \over {\overline {ZA}}}$ ${\mathit {und}}$ $\mid k\mid$ $={{\overline {ZB'}} \over {\overline {ZB}}}$
Gleichsetzen: ${{\overline {ZA'}} \over {\overline {ZA}}}=$ ${{\overline {ZB'}} \over {\overline {ZB}}}$
Einsetzen der Werte ergibt:
${{2,54\ cm} \over {1\ Zoll}}=$ ${x} \over {15\ Zoll}$ $\Rightarrow x=38,1\ cm$

Merke

Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den ersten Vierstreckensatz. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet, deshalb wird es auch die Schenkellösung genannt.

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