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Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

Hallo und herzlich willkommen im Lernpfad „Lineare Funktionen erkunden!“

Das kennst du schon: Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.
Darauf bauen wir auf: Du lernst lineare Funktionen als Modelle kennen – also als Werkzeuge, mit denen man Situationen aus dem Alltag mathematisch beschreibt.

Worum geht’s im Lernpfad?
Du bestimmst lineare Funktionen aus Texten, Tabellen und Graphen und nutzt sie, um Entscheidungen zu begründen (z. B. welches Angebot günstiger ist).

Deine Ziele (Kompetenzen):

• Modellieren: Du übersetzt einen Sachtext in eine Funktionsgleichung und deutest Ergebnisse im Kontext.
• Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
• Argumentieren: Du begründest deine Entscheidungen mit m (Steigung), b (Startwert) und/oder dem Schnittpunkt.
• Operieren: Du vergleichst lineare Funktionen, bestimmst Schnittpunkte und nutzt Gleichungen zum Rechnen.

Benötigtes Material: Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Erfolg und viel Spaß! 🙂

Station 1: Wertetabelle & Funktionsgleichung aus einem Text

Hier trainierst du: Modellieren (Text → Tabelle/Gleichung) und Darstellen.

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter „TalkEasy“ macht folgendes Angebot:
„Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren 0,15 €.“

Aufgabe 1: Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten $y$ in Abhängigkeit von den Minuten $x$.

1. Ergänze die Wertetabelle in dein Heft.
2. Stelle die Funktionsgleichung auf.

Minuten ($x$)	0	10	20	$x$
Kosten ($y$)	?	?	?	?

💡 Tipp 1: Startwert (b)

Bei $x=0$ Minuten zahlst du trotzdem 10 €. Das ist der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt $b$.

💡 Tipp 2: Steigung (m)

Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist die Steigung $m$.

✅ Lösung

Tabelle: $y(0)=10$, $y(10)=11{,}50$, $y(20)=13{,}00$
Gleichung: $f(x) = 0{,}15\cdot x + 10$

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Station 2: Steigung m und Startwert b verstehen

Hier trainierst du: Operieren & Argumentieren (Parameter deuten und vergleichen).

In Station 1 hast du bereits ein Modell aufgebaut. Jetzt schauen wir genauer hin:
Wie verändern $m$ und $b$ den Graphen der linearen Funktion $f(x)=m\cdot x + b$?

Merke:

• $<b>b</b>$ (y-Achsenabschnitt / Startwert): Verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
• $<b>m</b>$ (Steigung): Bestimmt, wie stark die Gerade steigt oder fällt (wie schnell sich $y$ verändert).

Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext

Du siehst drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
$y$ ist die Höhe in cm, $x$ ist die Zeit in Stunden.

• A: $f(x) = -2x + 15$
• B: $f(x) = -4x + 20$
• C: $f(x) = -1x + 15$

Beantworte und begründe mathematisch:

1. Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
2. Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
3. Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?

✅ Lösung & Begründung

1. Kerze B war zu Beginn am höchsten, weil $b=20$ der größte Startwert ist.
2. Kerze B brennt am schnellsten ab, weil $|m|=4$ am größten ist (4 cm pro Stunde).
3. Kerze A und C waren zu Beginn gleich hoch, weil beide $b=15$ haben.

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Station 3: Aus zwei Datenpunkten eine lineare Funktion bestimmen

Hier trainierst du: Modellieren (Daten → Gleichung) und Operieren (m und b berechnen).

Im Alltag bekommst du oft keine fertige Gleichung, sondern Messwerte (Punkte). Daraus kannst du die lineare Funktion rekonstruieren.

Beispiel: Sinkflug eines Flugzeugs

• Nach 2 Minuten: 4000 m Höhe
• Nach 5 Minuten: 2500 m Höhe

Aufgabe 3: Bestimme die Funktionsgleichung $h(t)=m\cdot t + b$, die den Sinkflug beschreibt.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Nutze zwei Punkte $P_1(2|4000)$ und $P_2(5|2500)$:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Schritt 2: b bestimmen

Setze $m$ und einen Punkt in $y=m\cdot x + b$ ein und löse nach $b$.

✅ Lösung

$m=\frac{2500-4000}{5-2}=\frac{-1500}{3}=-500$
Einsetzen (z. B. Punkt $(2|4000)$): $4000=-500\cdot 2 + b$
$4000=-1000+b \Rightarrow b=5000$
Ergebnis: $h(t)=-500t+5000$

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Station 4: Funktionen vergleichen – Schnittpunkt (Break-even)

Hier trainierst du: Argumentieren & Operieren (Gleichsetzen, Schnittpunkt deuten).

Jetzt nutzt du lineare Funktionen, um eine Entscheidung zu treffen: Welches Angebot ist günstiger – und ab wann?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:

• Tarif A: $f(x)=0{,}15x+10$
• Tarif B: keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute: $g(x)=0{,}25x$

Aufgabe 4: Die Entscheidung

Ab wie vielen Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A mehr als Tarif B?
Bestimme dazu den Zeitpunkt, an dem beide Tarife gleich teuer sind (Schnittpunkt).

💡 Tipp: So startest du

Beim Schnittpunkt sind die Kosten gleich.

Ansatz: $f(x)=g(x)$

✅ Lösung

$0{,}15x+10=0{,}25x$
$10=0{,}10x$
$x=100$

Deutung: Bei 100 Minuten sind beide Tarife gleich teuer (25 €).
Für mehr als 100 Minuten ist Tarif A günstiger (kleinere Steigung → Kosten steigen langsamer).

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Station 5: Eigener Sachkontext – eine Gleichung „zum Leben erwecken“

Hier trainierst du: Modellieren & Kommunizieren (Kontext erfinden, Werte deuten, Antwortsätze formulieren).

Manchmal ist die Gleichung schon gegeben – und du musst sie sinnvoll interpretieren.

Gegeben ist die Funktionsgleichung: $y=3x+8$

Aufgabe 5:

1. Überlege dir eine realistische Alltagssituation, die durch $y=3x+8$ beschrieben werden kann (Was bedeuten $x$ und $y$? Welche Einheit passt?).
2. Berechne $y$ für $x=4$ und $x=10$. Formuliere jeweils einen passenden Antwortsatz zu deinem Kontext.
3. Bestimme den $x$-Wert, für den $y=32$ gilt. Formuliere auch hier einen Antwortsatz.

💡 Tipp: Gute Kontexte

Typisch für $y=3x+8$: ein Startwert 8 und eine Zunahme um 3 pro Schritt.
Beispiele: Grundgebühr + Preis pro Einheit, Startkapital + Sparrate, Startpunkt + Geschwindigkeit.

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Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden planen (GeoGebra)

Hier trainierst du: Operieren & Argumentieren (Eigenschaften paralleler Geraden).

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke ist bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Nun soll eine neue Umgehungsstraße gebaut werden, die parallel zur Zugstrecke verläuft.

Die Zugstrecke wird beschrieben durch: $f(x)=x+3$

Aufgabe 6:

Damit es keine Kreuzung mit der Zugstrecke gibt, soll die Straße (Funktion $g(x)$) parallel zu $f(x)$ verlaufen.

1. Verändere den Schieberegler für $b$. Was passiert mit dem Graphen? Beschreibe kurz.
2. Stelle anschließend die Steigung $m$ so ein, dass $g(x)$ parallel zu $f(x)$ ist.
3. Welchen Wert muss $m$ haben, damit sich die Geraden niemals schneiden? Vergleiche die Steigungen von $f$ und $g$.

Bitte öffnen (GeoGebra)

✅ Lösung (Merksatz)

1) Wenn sich $b$ ändert, wird die Gerade nur nach oben/unten verschoben. Die Steigung bleibt gleich.
2) Für parallele Geraden gilt: gleiche Steigung.
Da $f(x)=x+3$ die Steigung $m=1$ hat, muss auch bei $g(x)$ gelten: $m=1$.
3) Wenn die Steigungen gleich sind, schneiden sich die Geraden nicht (außer sie sind identisch). Dann entscheidet nur $b$ über den Abstand.

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Abschluss: Mini-Check (Selbstreflexion)

Hier trainierst du: Metakognition (einschätzen, was du schon kannst).

Nimm dir 3–5 Minuten Zeit:

• Kannst du aus einem Sachtext $m$ und $b$ herauslesen?
• Kannst du erklären, was $m$ im Kontext bedeutet (z. B. „pro Minute …“)?
• Kannst du den Schnittpunkt zweier Angebote berechnen und im Alltag deuten?

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Übungen: Grundlagen festigen (ohne PDF)

Falls du bei den Basics noch unsicher bist, kannst du hier direkt im Lernpfad üben (ohne Download).
Geplante Übungsbereiche:

• Graphen zeichnen aus Gleichung
• Gleichung bestimmen aus Tabelle/Graph
• Wertetabellen sicher ausfüllen
• Sachaufgaben: m und b deuten

(Hinweis für die Kursseite: Die Inhalte der bisherigen PDF sollen hier als einzelne Übungsstationen umgesetzt werden.)