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Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

Hallo und herzlich willkommen!

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man Modellieren.

Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):

• Modellieren: Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
• Darstellen: Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
• Interpretieren: Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
• Operieren: Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

Benötigtes Material: Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀

Station 1: Vom Text zur Tabelle

Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

Aufgabe 1: Wir wollen wissen, wie die Kosten ($y$) von den telefonierten Minuten ($x$) abhängen.

1. Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
2. Versuche eine Formel für $x$ Minuten aufzustellen.

Minuten ($x$)	0	10	20	... $x$ (beliebig)
Kosten in € ($y$)	?	?	?	$f(x) = ...$

💡 Tipp 1: Der Startwert

Wenn du 0 Minuten telefonierst ($x=0$), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).

💡 Tipp 2: Die Änderung

Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung $m$.

✅ Lösung

• Tabelle:
  • 0 Min = 10,00 €
  • 10 Min = 11,50 € (Rechnung: $10 + 10 \cdot 0,15$)
  • 20 Min = 13,00 €
• Gleichung: $f(x) = 0,15 \cdot x + 10$

Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.

Station 2: Die Bausteine m und b verstehen

Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).

Wir betrachten die allgemeine Form $f(x) = m \cdot x + b$.

Merke dir die Bedeutung:

• $b$ (Startwert / y-Achsenabschnitt): Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
• $m$ (Steigung / Änderungsrate): Wie verändert sich der Wert?
  • Positives $m$: Die Gerade steigt (Wachstum).
  • Negatives $m$: Die Gerade fällt (Abnahme).
  • Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.

Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.

• $y$ = Höhe der Kerze in cm.
• $x$ = Zeit in Stunden.

Die Modelle:

• Kerze A: $f(x) = -2x + 15$
• Kerze B: $f(x) = -4x + 20$
• Kerze C: $f(x) = -1x + 15$

Ordne zu und begründe mathematisch mit $m$ und $b$:

1. Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
2. Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
3. Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?

✅ Lösung & Begründung

1. Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt $b=20$ ist der größte Startwert.
2. Kerze B brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung $m = -4$. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
3. Kerze A und C waren gleich hoch, da beide den Startwert $b=15$ haben.

Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.

Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen

Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.

• Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt $P_1(2|4000)$
• Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt $P_2(5|2500)$

Aufgabe 3: Bestimme die Funktionsgleichung $h(t) = m \cdot t + b$, die den Sinkflug beschreibt.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Setze die Werte der Punkte ein und berechne $m$.

Schritt 2: b bestimmen

Da du jetzt $m$ kennst, lautet deine Formel vorläufig: $y = m \cdot x + b$. Nimm dir einen der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach $b$ um.

✅ Lösung

1. Steigung berechnen:

$m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500$

(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

2. Startwert b berechnen:

Wir setzen $m=-500$ und $P_1(2|4000)$ ein:

$4000 = -500 \cdot 2 + b$

$4000 = -1000 + b \quad | +1000$

$5000 = b$

Ergebnis: $h(t) = -500t + 5000$

Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.

Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)

Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:

• Tarif A (TalkEasy): 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute.
  Formel: $f(x) = 0,15x + 10$
• Tarif B (NoLimit): Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute.
  Formel: $g(x) = 0,25x$

Aufgabe 4: Die Entscheidung

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.

💡 Tipp: Der Ansatz

Wir suchen das $x$, für das die Kosten gleich sind. Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

$f(x) = g(x)$

✅ Lösung

Gleichsetzen:

$0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x$

$10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10$

$100 = x$

• • Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
• Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
• Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).

Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)

Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").

Gegeben ist die Funktionsgleichung: $y = 3x + 8$.

Aufgabe 5:

1. Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
2. Berechne $y$ für $x = 4$. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
3. Berechne, bei welchem $x$-Wert $y = 32$ ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.

Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden

Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion $f(x) = 1x + 3$ beschrieben.

Aufgabe 6:

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße (Funktion $g(x)$) absolut parallel zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

1. Verändere zuerst den Schieberegler für $b$. Was passiert mit der Geraden?
2. Passe nun die Steigung $m$ deiner Funktion $g(x)$ so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
   • • Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung $m$ haben, damit Geraden parallel sind?

Hier klicken für die GeoGebra-Simulation

✅ Lösung

1. Das $b$ verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
2. Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
   • • Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung $m$**.

Da die Schiene $m=1$ hat, muss auch deine Straße $g(x)$ die Steigung $m=1$ haben (z.B. $g(x) = 1x - 2$).

Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)

Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

Basis-Übung A: Zeichnen Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:

1. $y = 2x + 1$
2. $y = -0,5x + 3$
3. $y = 4$ (Spezialfall!)

Basis-Übung B: Ablesen Bestimme die Gleichung $y = mx + b$ ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:

1. Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
2. Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".

Lösungen

• • Zu A (Zeichnen):**

1. Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
2. Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
3. Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

• • Zu B (Ablesen):**

1. $y = 3x + 2$
2. $y = -1x$ (oder einfach $y = -x$)