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Mathematik-Wettbewerb des Landes Hessen 2024 1. Runde Gruppe A

Die Aufgaben und Lösungen auf dieser Seite stammen aus der Lerntheke des Mathematik-Wettbewerbes des Landes Hessen,
abgerufen am 03.09.2025 auf https://mathematik-wettbewerb.de/aufgabenauswahl Gruppe A des Jahrgangs 2024

Pflichtaufgaben

Aufgabe 2024 A P1

Berechne und kürze gegebenenfalls vollständig.

a)   $\frac{5}{12}-\frac{20}{24}$      b)   $\frac{5}{12}\cdot \frac{20}{24}$      c)   $\frac{5}{12}:\frac{20}{24}$

a)   Zuerst auf den Hauptnenner bringen, dann Zähler subtrahieren.

b)   Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

c)   Ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

Der Bruch $\frac{20}{24}$ kann in allen drei Teilaufgaben vorab gekürzt werden zu $\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.

a)   $\frac{5}{12}-\frac{20}{24}$ $=\frac{5}{12}-\frac{10}{12}$ $=-\frac{5}{12}$

b)   $\frac{5}{12}\cdot \frac{20}{24}$ $=\frac{5}{12}\cdot \frac{5}{6}$ $=\frac{5\cdot 5}{12\cdot 6}$ $=\frac{25}{72}$

c)   $\frac{5}{12}:\frac{20}{24}$ $=\frac{5}{12}\cdot \frac{6}{5}$ $=\frac{5\cdot 6}{12\cdot 5}$ $=\frac{1}{2}$

a)   $-\frac{5}{12}$

b)   $\frac{25}{72}$

c)   $\frac{1}{2}$

Aufgabe 2024 A P2

a)   Ein Pullover kostete ursprünglich 60 €. Der Preis wurde auf 48 € gesenkt. Berechne, um wie viel Prozent der Preis reduziert worden ist.

b)   Der Preis eines T-Shirts wurde um 20 % erhöht und beträgt nun 60 €. Berechne den alten Preis.

a)

Welche Größe entspricht dem Grundwert? Um wie viel € wurde der Preis gesenkt? Welchem Prozentsatz entspricht die Preissenkung?

b)

Welche Größe entspricht dem Grundwert? Welchem Prozentsatz entspricht der neue Preis?

a)

Der Grundwert entspricht dem ursprünglichen Preis von 60 €. Die Preissenkung beträgt 60 € - 48 € = 12 €. Wieviel Prozent sind 12 € von 60 € ?

12 € von 60 € = 12 € : 60 € = $\frac{12}{60}=\frac{1}{5}=20\mathrm{\%}$

b)

Auch hier ist der alte Preis der Grundwert. Dieser ist nun aber die gesuchte Größe. Die Preiserhöhung beträgt 20 %.

In Worten: alter Preis + Preiserhöhung = neuer Preis
In Prozent: 100 % + 20 % = 120 %

Wie viel € entsprechen 100 % ?
120 % entsprechen 60 €
20 % entsprechen 10 €
100 % entsprechen 50 €

a)   20 %

b)   50 €

Aufgabe 2024 A P3

In der nebenstehenden Abbildung ist $g\parallel h$.

Bestimme die Größe der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

• Welche Beziehung besteht zwischen Scheitelwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln bei Parallelen, die von einer weiteren Gerade geschnitten werden?
• Welche Beziehung besteht zwischen Nebenwinkeln bei zwei Geraden, die sich schneiden?
• Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck?

$\alpha$ ist Wechselwinkel zu dem 65°-Winkel bei A, also ebenfalls 65° groß.

Der 35°-Winkel bei B besitzt einen gleich großen Stufenwinkel bei B'. Der Winkel $\beta$ ist davon ein Nebenwinkel. Da sich Nebenwinkel stets zu 180° ergänzen, ist $\beta$ = 180° - 35° = 145° groß.

Im Dreieck $\mathrm{\Delta }$ ABC ist der Innenwinkel bei A Scheitelwinkel zum 65°-Winkel. Der Innenwinkel bei B ist Scheitelwinkel zum 35°-Winkel. Da die Winkelsumme im Dreieck stets 180° beträgt, hat der Innenwinkel bei C die Größe 180° - 65° - 35° = 80°. Der Winkel $\gamma$ ist hierzu Nebenwinkel und daher 180° - 80° = 100° groß.

$\alpha$ = 65°

$\beta$ = 145°

$\gamma$ = 100°

Abbildung zu Aufgabe A P3

Aufgabe 2024 A P4

Pauls Schulweg ist 1,2 km lang. Er geht zu Fuß. Morgens startet er um 7:15 Uhr und kommt um 7:35 Uhr an.

a)   Bestimme seine durchschnittliche Laufgeschwindigkeit in km pro Stunde.

b)   Mittags nach dem Unterricht hat er nur noch $\frac{2}{3}$ seiner morgendlichen Geschwindigkeit. Wie viele Minuten braucht er dann für seinen Heimweg?

a)   Wie viele Minuten benötigt Paul morgens für den Schulweg?

b)   Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit läuft Paul mittags nach der Schule?

a)

Morgens benötigt Paul 20 Minuten für die Strecke von 1,2 km. Im Durchschnitt geht er

1,2 km in 20 min     |  $\cdot 3$
3,6 km in 60 min bzw. 1 h.

b)

$\frac{2}{3}$ von 3,6 km/h = $\frac{2}{3}\cdot 3,6$ km/h = 2,4 km/h.

2,4 km in 60 min     |    : 2
1,2 km in 30 min

a) 3,6 km/h

b) 30 Minuten

Aufgabe 2024 A P5

Welche dieser Symbole von Spielkarten

a)   sind achsensymmetrisch,

b)   haben mehr als zwei Symmetrieachsen,

c)   sind punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch?

Abbildung zu Aufgabe A P5

• Bei der Achsensymmetrie kann man eine Hälfte der Figur so an einer Geraden umklappen, dass beide Hälften deckungsgleich aufeinander liegen.
• Bei der Punktsymmetrie kann man eine Hälfte der Figur so um 180° um einen Punkt herum drehen, dass beide Hälften deckungsgleich aufeinander liegen.
• Beachte bei b), dass nach mehr als zwei Symmetrieachsen gefragt wird.

Datei:MWH8 2024 A P5 Lösung TimesNewRoman24.png

Abbildung zu Aufgabe A P5 Lösung

a) (1), (2), (5)

b) (2)

c) (4), (6)

Aufgabe 2024 A P6

In einem Skat-Spiel mit 32 Karten befinden sich je acht Karten mit Kreuz, Pik, Herz oder Karo. Es werden zwei Karten zufällig nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a)   beide Karten Herz zeigen,

b)   eine Karte Kreuz und eine Karte Herz zeigt?

Beachte: Die Ergebnisse können als Produkt, Summe oder Potenz angegeben werden.

a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste gezogene Karte Herz zeigt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass anschließend die zweite gezogene Karte noch einmal Herz zeigt? Beachte, dass die erste Karte nicht zurückgelegt wird.

b)

Das Ereignis "Eine Karte zeigt Kreuz und die andere Herz" gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, wenn man die Reihenfolge der Ziehungen berücksichtigt.
Wie viele Herz-Karten sind noch im Spiel, wenn bereits eine Kreuz-Karte gezogen wurde?

a)

Zu Beginn zeigen 8 von 32 Karten Herz. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste gezogene Karte Herz zeigt, beträgt $\frac{8}{32}$. Da die Karte nicht zurückgelegt wird, befinden sich anschließend noch 31 Karten im Spiel. Darunter sind noch 7 Herz-Karten. Bei der zweiten Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wieder eine Herz-Karte gezogen wird, $\frac{7}{31}$.

Datei:MWH8 2024 A P6 Lösung Arial24.png

Abbildung zu Aufgabe A P6 Lösung

Das Ereignis "1. Karte zeigt Herz und 2. Karte zeigt Herz" wird als zweistufiger Zufalssversuch im Baumdiagramm durch den Pfad "Herz - Herz" (H - H) dargestellt. Die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten $\frac{8}{32}$ und $\frac{7}{31}$ entlang des Pfades werden nach der 1. Pfadregel miteinander multipliziert.

Das Ereignis "1. Karte zeigt Herz und 2. Karte zeigt Herz" besitzt daher die Wahrscheinlichkeit $\frac{8}{32}\cdot \frac{7}{31}$.

b)

Das Ereignis "Eine Karte zeigt Kreuz und eine Karte zeigt Herz" kann auf zwei Arten zustande kommen: Entweder die erste Karte zeigt Kreuz und die zweite Karte zeigt Herz oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeiten sind im ersten Fall $\frac{8}{32}$ für Kreuz im ersten Zug und $\frac{8}{31}$ für Herz im zweiten Zug, da nach dem ersten Zug immer noch 8 Herz-Karten im Spiel sind, aber nur noch 31 Karten insgesamt.

Das Ereignis "Erst Kreuz, dann Herz" entspricht im Baumdiagramm dem Pfad K - H. Seine Wahrscheinlichkeit beträgt daher $\frac{8}{32}\cdot \frac{8}{31}$. Das Ereignis "Erst Herz, dann Kreuz" entspricht dem Pfad H - K. Dieser besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Nach der 2. Pfadregel müssen diese beiden Pfadwahrscheinlichkeiten addiert werden oder die Wahrscheinlichkeit eines dieser beiden Pfade wird verdoppelt.

a)   $\frac{8}{32}\cdot \frac{7}{31}$

b)   $2\cdot \frac{8}{32}\cdot \frac{8}{31}$     alternativ:   $\frac{8}{32}\cdot \frac{8}{31}+\frac{8}{32}\cdot \frac{8}{31}$

Aufgabe 2024 A P7

Ein Quadernetz hat die angegebenen Längen.

Berechne das Volumen des Quaders.

• Welche Quaderkanten im Netz müssen gleich lang sein?
• Falte das Netz so zusammenklappt, dass die kürzeste Kante seine Höhe bildet. Wie kann man diese Höhe aus den gegebenen Längenangaben berechnen?
• Welcher der angegebenen Variablen entspricht diese Höhe?

Das Quadernetz ist insgesamt 14 cm lang und an seiner breitesten Stelle 6 cm breit. Die schmale rechteckige Seitenfläche des Quaders am linken Ende des Netzes ist a = 4 cm lang.
Die kurze Seite dieses Rechtecks bildet beim Hochklappen die Höhe des Quaders und beträgt (6 $cm$ - 4 $cm$) : 2 = 1 $cm$. Im Netz entspricht diese Höhe auch der Strecke b.
Für die gesamte Länge des Netzes gilt: 14 $cm$ = 2b + 2c = 2 $cm$ + 2c und damit c = 6 $cm$. Das Quadervolumen beträgt daher $V=a\cdot b\cdot c=$ 4 $cm\cdot$ 1 $cm\cdot$ 6 $cm$ = 24 $c{m}^3$.

V = 24 $c{m}^3$      b = 1 $cm$      c = 6 $cm$

Abbildung zu Aufgabe A P7

Aufgabe 2024 A P8

Die Maße einiger Seiten der Figur $ABCDEF$ sind angegeben (in cm).

a)   Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$.

b)   Lena behauptet, dass die Strecke $\overline{AD}$ den Flächeninhalt der Figur $ABCDEF$ halbiert. Begründe, dass sie nicht recht hat. Formuliere einen Antwortsatz.

Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes mit den beiden parallel verlaufenden Seiten a und c und der Höhe h lautet: $A_{Trapez}=\frac{a+c}{2}\cdot h$. Weitere Infos findest du auch auf Wikipedia Trapez (Geometrie).

Die Strecke $\overline{AD}$ teilt die Figur $ABCDEF$ in die beiden Trapeze $ABCD$ und $ADEF$.

a)

Inhalt der Trapezfläche $A_{ABCD}=\frac{5cm+2cm}{2}\cdot 4cm=14c{m}^2$

b)

Inhalt der Trapezfläche $A_{ADEF}=\frac{7cm+3cm}{2}\cdot 3cm=15c{m}^2$. Die beiden Trapezflächen sind nicht gleich groß.

a)

Trapezfläche $A_{ABCD}=14c{m}^2$

b)

Lena hat nicht recht, denn die Trapezfläche $A_{ABCD}$ ist mit 14 $c{m}^2$ kleiner als die Trapezfläche $A_{ADEF}$ mit 15 $c{m}^2$.

Abbildung zu Aufgabe A P8

Wahlaufgaben

Info zur Bearbeitung der Wahlaufgaben

Im Mathematik-Wettbewerb werden bei den Wahlaufgaben von jeder Schülerin/jedem Schüler 2 der folgenden 4 Aufgaben gewertet. Werden mehr als 2 Aufgaben bearbeitet, so werden die beiden mit der höchsten Punktzahl berücksichtigt.

Aufgabe 2024 A W1

Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{𝔾}=\mathbb{\mathbb{Z}}=\{\dots ;-2;-1;0;1;2;\dots \}$ . Bei den Aufgaben a), b) und c) wird auch eine Rechnung verlangt.

a)   $5\cdot (2x+7)=2\cdot (4+1,5x)-2x$

b)   $5x^2-2\cdot (2x^2-1,5)=(x-2)\cdot (x+1)$

c)   $-8x+70-6x^2>(5+2x)\cdot (7-3x)$

d)   $(5x+5)\cdot (x-5)=0$

allgemeine Strategie zur Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten x

Klammern auflösen, zusammenfassen, x auf einer Seite durch Äquivalenzumformungen isolieren

zu c)

Bei einer Größer-Ungleichung wird das Größer-Zeichen zum Kleiner-Zeichen (bzw. umgekehrt), wenn auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl geteilt wird! Beispiel: $-3<-2$   aber   $3>2$

zu d)

Die Nullprodukt-Regel besagt: Ein Produkt ist gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.

a)

$5\cdot (2x+7)=2\cdot (4+1,5x)-2x$      |   Klammern auflösen

$10x+35=8+3x-2x$      |   zusammenfassen

$10x+35=8+x$      |   $-x-35$

$9x=-27$      |   : 9

$x=-3$

b)

$5x^2-2\cdot (2x^2-1,5)=(x-2)\cdot (x+1)$      |   Klammern auflösen

$5x^2-4x^2+3=x^2-2x+x-2$      |   zusammenfassen

$x^2+3=x^2-x-2$      |   $-x^2+x-3$

$x=-5$

c)

$-8x+70-6x^2>(5+2x)\cdot (7-3x)$      |   Klammern auflösen

$-8x+70-6x^2>35-15x+14x-6x^2$      |   zusammenfassen

$-8x+70-6x^2>35-x-6x^2$      |   $+6x^2+x-70$

$-7x>-35$      |   : (-7)   Achtung das Größer-Zeichen wird dabei zum Kleiner-Zeichen, weil durch eine negative Zahl geteilt wird!!

$x<5$

d)

$(5x+5)\cdot (x-5)=0$      |   auf der linken Seite 5 ausklammern

$5\cdot (x+1)\cdot (x-5)=0$      |   Nullprodukt-Regel anwenden: Ein Produkt ist gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.

Durch Einsetzen welcher x-Werte wird mindestens eine der beiden Klammern (und damit das gesamte Produkt) gleich 0? Es gibt zwei Lösungen, nämlich

$x_1=-1$   und  $x_2=5$

a)

$\mathbb{𝕃}=\{-3\}$ oder $x=-3$

b)

$\mathbb{𝕃}=\{-5\}$ oder $x=-5$

c)

$\mathbb{𝕃}=\{\dots ;2;3;4\}$

d)

$\mathbb{𝕃}=\{-1;5\}$

Aufgabe 2024 A W2

a)   Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c=|AB|=4,5$ cm, $\alpha =34^{\circ }$ und $\gamma =104^{\circ }$.

a) Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks $ABC$

• Zeichnen der Strecke $c=|AB|=4,5$ cm
• Antragen des Winkels $\alpha =34^{\circ }$ in Punkt $A$
• Bestimmen des Winkels $\beta =180^{\circ }-104^{\circ }-34^{\circ }=42^{\circ }$
• Antragen des Winkels $\beta =42^{\circ }$ in Punkt $B$
• $C$ als Schnittpunkt der freien Schenkel von $a$ und $b$

a) Zeichnung

b)   Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $b=|AC|=4,5$ cm, $\alpha =104^{\circ }$ und $w_{\alpha }=3,0$ cm.

b) Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks $ABC$

• Zeichnen der Strecke $b=|AC|=4,5$ cm
• Antragen des Winkels $\alpha =104^{\circ }$ in Punkt $A$
• Halbieren des Winkels: $\alpha :2$ $=52^{\circ }$
• Zeichnen der Strecke $w_{\alpha }=|AD|=3,0$ cm mit Endpunkt $D$
• Die Verlängerung der Strecke $\overline{CD}$ schneidet den freien Schenkel von $\alpha$ in $B$ .

b) Zeichnung

c)   Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $h_c=4,5$ cm, $\beta =104^{\circ }$ und $a=c$.

c) Hinweise zur Konstruktion des Dreiecks $ABC$

• Zeichnen eines Parallelstreifens mit dem Abstand $h_c=4,5$ cm und Markieren des Punktes $B$
• Antragen des Winkels $\beta =104^{\circ }$ in Punkt $B$
• $C$ als Schnittpunkt des freien Schenkels von $\beta$ mit dem Parallelstreifen
• Kreis um $B$ mit dem Radius $a=|BC|$ (Messen statt Kreisbogen führt zu leichtem Punktabzug)
• $A$ als Schnittpunkt des Kreises um $B$ mit dem Parallelstreifen

c) Zeichnung

Aufgabe 2024 A W3

Kerstin stellt ihrem Freund Fritz eine Aufgabe: Wähle eine beliebige natürliche Zahl, subtrahiere 4 und multipliziere die Differenz mit 3. Addiere zu diesem Produkt nun deine anfangs gewählte Zahl und dividiere die Summe durch 2.

a)   Fritz wählt zunächst die Zahl 5. Welches Ergebnis erhält er?

b)   Gib den zugehörigen Rechenterm für eine gewählte Zahl $x$ an und vereinfache ihn so weit wie möglich.

c)   Fritz erhält nun das Ergebnis 20. Mit welcher Zahl ist er gestartet?

d)   Welche Zahl muss Fritz wählen, damit er diese Zahl auch als Ergebnis erhält?

e)   Kerstins Bruder nennt 15 als Ergebnis. Kerstin sagt: "Das kann nicht sein, du hast dich bestimmt verrechnet!" Begründe, woran Kerstin dies sofort erkennt.

f)   Fritz möchte Kerstins Aufgabe so fortsetzen, dass immer die gewählte Zahl herauskommt. Gib eine mögliche Fortsetzung an.

a)   Einzelschritte: $5-4=1;1\cdot 3=3;3+5=8;8:2=4$

      Term: $((5-4)\cdot 3+5):2=(1\cdot 3+5):2=8:2=4$

b)   $((x-4)\cdot 3+x):2=(3x-12+x):2=(4x-12):2$ $=2x-6$

c)   $2x-6=20\iff 2x=26\iff x=13$

d)   $2x-6=x\iff x=6$

e)   Der Wert des Terms $2x-6=2\cdot (x-3)$ ist immer gerade.

f)   Der Term $2x-6$ bedeutet: "multipliziere erst x mit 2 und subtrahiere dann 6". Um daraus wieder x zu erhalten, kann diese Rechnung rückgängig gemacht werden durch: "addiere erst 6 und halbiere anschließend". Auch Kerstins ursprüngliche Aufgabenstellung kann entsprechend schrittweise rückgängig gemacht werden.

a)   4

b)   $2x-6$

c)   13

d)   6

e)   Der Wert des Terms $2x-6$ ist immer gerade.

f)   als Term oder in Wortform, z.B. "multipliziere mit 2, subtrahiere deine gewählte Zahl, dividiere durch 3 und addiere 4" oder "addiere 6 und halbiere" oder "halbiere und addiere 3"

Aufgabe 2024 A W4

In einer Urne befinden sich zwei blaue, zwei gelbe und zwei rote Kugeln. Emmy zieht mehrere Kugeln zufällig nacheinander ohne Zurücklegen.

a)   Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: Nach zwei Ziehungen hat sie

(1) zwei gelbe Kugeln,

(2) zwei gleichfarbige Kugeln,

(3) genau eine gelbe Kugel,

(4) zwei verschiedenfarbige Kugeln.

b)   Emmy möchte so oft ziehen, dass sie auf jeden Fall zwei gleichfarbige Kugeln hat. Wie oft muss Emmy mindestens ziehen?

c)   Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beträgt $p=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}$. Gib ein passendes Ereignis an.

d)   Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass nach fünf Ziehungen eine gelbe Kugel in der Urne bleibt.

Beachte: Die Ergebnisse können als Produkt, Summe oder Potenz angegeben werden.

a)

• Erstelle das Baumdiagramm für einen zweistufigen Zufallsversuch mit den Ereignissen (Zweigen) b, g und r in der ersten Stufe.
• Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten P(b), P(g) und P(r) in der ersten Stufe?
• Aus welchen Pfaden besteht der Baum ingesamt?
• Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe? Beachte, dass die in der 1. Stufe gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird.

a)

a) (1)    $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}(=\frac{1}{15})$

    (2)    $3\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}(=\frac{1}{5})$

    (3)    $\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}+\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}(=\frac{8}{5})$

    (4)    $1-\frac{1}{5}(=\frac{4}{5})$   alternativ:   $\frac{6}{6}\cdot \frac{4}{5}$   oder   $3\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}$

b)   viermal

c)   z.B. "Nach zwei Ziehungen hat Emmy keine blaue Kugel gezogen."

d)   $\frac{1}{3}$   (Hinweis: Jede der sechs Kugeln landet mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf dem sechsten Platz. Zwei der sechs Kugeln sind gelb, also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$.)