Benutzer:Chiara Brandstetter/Gleichungssysteme

Gleichungssysteme

Willkommen beim Lernpfad „Lineare Gleichungssysteme entdecken“! ☺️

Du stehst vor einer Klausur mit der Thematik „Gleichungssysteme“? Keine Panik, in diesem Lernpfad kannst du alle wichtigen Inhalte rund um das Thema Gleichungssysteme wiederholen, so dass du perfekt auf die Klausur vorbereitet bist.✍🏼

Bearbeite die Seiten möglichst in der gegebenen Reihenfolge. Notiere deine Ergebnisse und Erkenntnisse in deinem Heft, welches du extra von deiner Lehrkraft erhältst.

Warum überhaupt Gleichungssysteme?

💭 Überlege dir zunächst alleine oder mit deinem/deiner Sitznachbar/in, warum du in der Schule über Gleichungssysteme lernst und wo sie dir im Alltag begegnen können. Schreibe deine Vermutungen in dein Heft.✍🏼

Wenn ihr eine Idee habt, könnt ihr mit der folgenden Aufgabe weitermachen und sehen, wo das Aufstellen und Lösen von Gleichungssystemen im Alltag relevant ist.

Verfahren

💡Wie du gerade gesehen hast, können alltägliche Situationen in mathematische Gleichungen umgeschrieben werden. Die Frage, die sich nun stellt ist, wie du die Gleichungen sinnvoll lösen kannst. Im Folgenden wirst du die wichtigsten Verfahren zum Lösen eines Gleichungssystems kennenlernen.

Graphisches Lösen

Bevor es ans Rechnen geht, schauen wir uns an, wie man Gleichungssysteme auch graphisch lösen kann. Das graphische Lösen bietet sich an, wenn die Gleichungen leicht formuliert sind und keine großen Zahlenwerte verwendet werden. So kann die Gleichung in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Anschließend suchst du den Schnittpunkt der beiden Geraden, die Werte für die x- und die y-Achse sind dann deine Lösungsmenge.

Merke

Die Lösungsmenge von zwei Gleichungen ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, wenn man sie graphisch in einem Koordinatensystem darstellt.

An diesem Punkt haben beide Gleichungen den selben Wert.

Schaue dir zunächst den Verlauf der Geraden an, findest du Schnittpunkte? Wenn du den Schnittpunkt der beiden Geraden gefunden hast, dann lese den Wert für die x-Achse ab. Anschließend machst du das Gleiche für die y-Achse. Diese Werte sind deine Lösungsmenge.

Rechnerisches Lösen

💡Wie du gesehen hast, kannst du auch graphisch die Lösung von Gleichungssystemen bestimmen. Allerdings kann dies bei sehr großen Zahlen schwierig und sehr zeitaufwendig werden. Daher ist es wichtig, Gleichungssysteme auch rechnerisch lösen zu können. Im Folgenden werden wir das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren besprechen.

💭 Überlege zunächst alleine oder mit deinem/deiner Sitznachbar/in, wie ihr allgemein vorgeht, wenn ihr ein Gleichungssystem lösen möchtet. Schreibt eure Schritte stichpunktartig in euer Heft.✍🏼

Bearbeitet anschließend die Zahlenstrahl-Aufgabe und schreibe diese, wenn du alles richtig gelöst hast, in dein Heft ab.

Gleichsetzungsverfahren

Merke

Beim Gleichsetzungsverfahren formst du die gegebenen Gleichungen so um, dass jeweils dieselbe Variable allein auf einer Seite steht. Anschließend setzt du die Terme gleich, da sie demselben Wert beschreiben. So erhältst du eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die du leicht lösen kannst. Das Ergebnis setzt du daraufhin in eine Gleichung vom Anfang ein, um die zweite Variable zu bestimmen.

Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn sich die Gleichungen schnell nach einer Variable umstellen lassen.

Notiere dir die richtige Reihenfolge in deinem Heft und schreibe jeweils einen oder zwei Sätze, die den Schritt erklären.

Üben

Löse die Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren. Schreibe die Lösung in dein Heft.✍🏼

1. y = 2x + 3 und y = -x + 9

2. y = 4x - 1 und y = x + 8

3. 2x + y = 11 und x - y =-1

4. 3x + y = 14 und x - y = 2

5. x + 2y = 13 und 2x - y = 8

1. x = 2 , y = 7

2. x = 3 , y = 11

3. x = 4 , y = 3

4. x = 4 , y = 2

5. x = 5 , y = 4

Einsetzungsverfahren

Merke

Beim Einsetzungsverfahren formst du zuerst eine der beiden Gleichungen so um, dass eine Variable allein auf einer Seite steht. Diesen Term setzt du dann in eine Gleichung vom Anfang ein, wodurch eine Gleichung mit nur einer Unbekannten entsteht. Diese kannst du leicht lösen. Anschließend setzt du den gefundenen Wert wieder in eine der Ausgangsgleichungen ein, um die zweite Variable zu berechnen.

Das Einsetzungsverfahren ist praktisch, wenn eine Gleichung schon gut nach einer Variablen aufgelöst ist.

Notiere dir die richtige Reihenfolge in deinem Heft und schreibe zu den verschiedenen Schritten jeweils einen bis zwei Sätze, die den Schritt erklären.✍🏼

Üben

Löse die Aufgaben mit dem Einsetzungsverfahren. Schreibe deine Rechenwege in dein Heft.✍🏼

1. x + y = 8 und 2x - y = 1

2. 2x + y = 14 und x - y = 1

3. 3x + y = 14 und x - y = 2

4. x + 2y = 11 und 2x - y = 7

5. 5x + y = 22 und x - y = 4

1. x = 3 , y = 5

2. x = 5 , y = 4

3. x = 4 , y = 2

4. x = 5 , y = 3

5. x = 3 , y = -1

Additionsverfahren

Merke

Das Additionsverfahren ist eine mathematische Methode, um Gleichungssysteme mit zwei oder mehr Variablen zu lösen.

Die Grundidee ist, eine Gleichung so zu multiplizieren, dass man sie zu der anderen Gleichung addieren (oder substrahieren) kann. So fällt eine Variable zunächst weg und die Gleichung kann leichter gelöst werden.

Notiere dir die richtige Reihenfolge in deinem Heft und schreibe einen bis zwei Sätze, die den Schritt erklären.✍🏼

Üben

Löse die Aufgaben mit dem Additionsverfahren. Schreibe deinen Rechenwege in dein Heft.✍🏼

1. x + y = 10 und 2x - y = 2

2. 2x + y = 12 und x - y = 0

3. 2x + y = 16 und x - y = 4

4. 4x + y = 21 und x - y = 3

5. 2x + y = 13 und x - y = 2

1. x = 4 , y = 6

2. x = 4 , y = 4

3. x = 4 , y = 8

4. x = 4 , y = 1

5. x = 5 , y = 3

Wiederholung

Du hast nun alle relevanten Themen aufgefrischt. Im Folgenden kannst du alles Gelernte nochmal wiederholen und überlegen, wo du noch Schwierigkeiten hast.

Beachte: „+“ bedeutet die Aufgabe ist noch leicht, „++“ ist herausforndernder. „+++“ - Aufgaben sind zum Knobeln und Vertiefen.

+

Übung

++

Das war dir zu leicht? Kein Problem, versuche die Aufgaben aus der Aufgabe oben zu lösen. Notiere deinen Rechenweg in dein Heft.

Wenn du dir unsicher bist, ob deine Lösung stimmt, dann vergiss nicht die Probe durchzuführen.

Setze in beide Gleichungen deine ausgerechneten Werte für die Variablen x und y ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, dann hast du alles richtig gemacht. Wenn du eine Ungleichung herausbekommst, dann hast du dich leider verrechnet. Probiere es einfach nochmal☺️.

Übung

+++

Auf einer Geburtstagsparty sind 30 Kinder. Du weißt, dass es viermal so viele Mädchen sind wie Jungen. Wie viele Mädchen und Jungen sind es jeweils?

Löse mit einem Gleichungssystem!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren

Tipp: Versuche die zwei Aussagen als Gleichungen aufzuschreiben und mithilfe eines Verfahrens für Gleichungssysteme zu lösen!

1. Gleichungen aus dem Text aufstellen, gucke, welche Informationen und Zahlen du aus dem Text nehmen kannst. Wie viele Kinder kommen? Wie ist ds Verhältnis zwischen Jungen und Mädchen?

2. Lege Variablen fest, nehme zum Beispiel m für Mädchen und j für Jungen.

3. Bringe die Variablen mit der Anzahl der Kinder in Kombination.

(m+j=30)

4. Die Anzahl der Mädchen ist 4 mal die Anzahl der Jungen. Schreibe das in einer Gleichung.

(4j=m)

5. du hast jetzt zwei Gleichungen.

m+j=30 4j=m Welches Verfahren bietet sich hier zum Lösen des Gleichungssystems an?

Lösung zu Überprüfen: 6 Jungs, 24 Mädchen

Übung

+++

Du fühlst dich schon sehr sicher mit der Thematik und möchtest ein bisschen Knobeln? Kein Problem.

Finde die richtige Reihenfolge, notiere sie in dein Heft und schreibe dazu, wie bei den jeweiligen Kärtchen vorgegangen wurde, um die Lösung zu erhalten.✍🏼

Wenn du nicht weiter weißt, schau dir folgendes Video an:

https://youtu.be/z_ulHG6bv_k?is=miNtF3I9adrDcdo6

Abschluss

✍🏼Vielen Dank, dass du den Lernpfad genutzt hast. Bitte schreibe auf einen Zettel, den du deiner Lehrkraft abgibst, wie dir der Lernpfad gefallen hat und ob er dir beim Lernen helfen konnte. Versuche zu erklären, welche Aufgaben dir besonders geholfen haben und welche Verbesserungen du vorschlagen würdest.

Sei gerne ehrlich, du musst deinen Namen nicht auf den Zettel schreiben.😊