Trigonometrische Funktionen/Einfluss von b: Unterschied zwischen den Versionen

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*[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter]]
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===FAQ===  
===FAQ===  
[[Trigonometrische_Funktionen 2/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]


===Einfluss von b===
===Einfluss von b===


{|
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> b </math> in  
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Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ b </math> in  


:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>.  
:<math> x \rightarrow \sin ( b \cdot x ) </math>.




{{Arbeiten|NUMMER=B1|ARBEIT=
{{Box|1=Aufgabe B1|2=
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_b.ggb" /><br>  
<ggb_applet height="450" width="900" id="e7wkrhyj" /> <br>  


# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ b </math> ändern. <br>
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> b </math> ändern. <br>
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Stelle den Schieberegler auf <math> b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3  </math>  und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> b = 3  </math>  und <math> b = -1 </math> sowie <math> b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht.
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt.
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>y</math>-Achse gespiegelt.
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.</span>
D.h., wenn man z.B. <math>b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}}
[[Bild:N_sin_b.jpg|center]]
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}}
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{{Box|1=Aufgabe B2|2=
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{{Arbeiten|NUMMER=B2|ARBEIT=


Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Eine mögliche formale Begründung:
:Es gilt:
::<math>\sin(x)=\sin\left(b\cdot\frac{x}{b}\right)</math>
:Dies bedeutet, dass die Funktion <math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> schon an der Stelle <math>\frac{x}{b}</math> den Funktionswert von <math> x \rightarrow \sin (x ) </math> annimmt.
}}
}}
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{|
{{Box|1=Aufgabe B3|2=
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{{Arbeiten|NUMMER=B3|ARBEIT=


Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
}}
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|}


<quiz display="simple">
<quiz display="simple">


}
}
| <math>\ b<-1; </math> | <math> -1<\ b<0; </math> | <math> 0<\ b<1; </math> | <math> 1<\ b</math>  
| <math>b < -1; </math> | <math> -1 < b < 0; </math> | <math> 0 < b < 1; </math> | <math> 1 < b</math>  


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---- Verschiebung nach oben
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---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach links
---- Verschiebung nach links
-++- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
-++- Streckung in <math> x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
+--+ Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
+--+ Stauchung in <math> x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
---- Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
---- Streckung in <math> y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
---- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
---- Stauchung in <math> y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
---- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
---- Spiegelung an <math> x </math>- Achse
++-- Spiegelung an <math> \ y </math>- Achse
++-- Spiegelung an <math> y </math>- Achse
</quiz>
</quiz>


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|3=Arbeitsmethode}}
 
{|
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Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ b </math> in
 
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.


{{Arbeiten|NUMMER=B4|ARBEIT=
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="cos_b.ggb" /><br>


Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für ymath>cos</math>.
}}
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Nun betrachten wir den Einfluss von <math> b </math> in


[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B1|Lösung zu Aufgabe B1]]
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.


[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B2|Lösung zu Aufgabe B2]]
{{Box|1=Aufgabe B4|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="kvuvfcnp" /> <br>


[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B3|Lösung zu Aufgabe B3]]
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für <math>cos</math>.
 
|3=Arbeitsmethode}}
[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss_von_b/Lösung_zu_Aufgabe_B4|Lösung zu Aufgabe B4]]
{{Lösung versteckt|1=
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> b </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
[[Bild:N_cos_b.jpg|center]]
}}


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*[[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter]]
 
{{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:28 Uhr


FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von b

Wir betrachten nun den Einfluss von in

.


Aufgabe B1
GeoGebra

  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege dir, wie sich die Werte und sowie auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Merke

Man erhält den Graph der Funktion

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der -Achse. Genauer:

  • Ist der Betrag von größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestaucht.
  • Ist der Betrag von kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestreckt.
  • Falls negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt.

Die Periode der Funktion ist .

D.h., wenn man z.B. verdoppelt, so halbiert sich die Periode.


N sin b.jpg


Aufgabe B2
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.


Eine mögliche formale Begründung:

Es gilt:
Dies bedeutet, dass die Funktion schon an der Stelle den Funktionswert von annimmt.


Aufgabe B3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an - Achse
Spiegelung an - Achse


Nun betrachten wir den Einfluss von in

.

Aufgabe B4
GeoGebra

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für .

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

N cos b.jpg

Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!