Terme/Umformen von Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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= <span style="color: green">Umformen von Termen</span> =
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Terme}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> ==


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
__NOTOC__
{|
==Äquivalente Terme==
! width="910" |
|-
| valign="top" |
''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
{|
! width="600" |
! width="10" |
|-
| valign="top" |
<br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>=b)


{{Box|1=Aufgabe|2=Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: <math>b_1 = b_2 = b </math>)


Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
|} <br /> <br />
|
| valign="top" |
[[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]] <br /> <br />
|}


<popup name="Lösung">
[[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]]
 
 
{{Lösung versteckt|1=


1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A<sub>1</sub> (b)= 2b•4-2b
1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: <math> A_1(b)= 2b \cdot 4-2b </math>


2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A<sub>2</sub> (b)= 3•2b
2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also <math> A_2(b)= 3 \cdot 2b </math>


Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
</popup>
}}
|3=Arbeitsmethode}}


===Erklärung===


<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.  
Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.  
Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.
Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.


<span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
<u>Rechengesetze:</u>
{| width="99%"
| width="40%" style="vertical-align:top" |


* '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
*'''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
::a+b = b+a
 
::a•b = b•a
::<math>a+b = b+a</math>
* '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:  
::<math>a \cdot b = b \cdot a</math>
::a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
 
::a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
*'''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
* '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
 
::a•(b+c) = a•b+a•c
::<math>a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c</math>
::<math>a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c</math>
 
*'''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
 
::<math>a \cdot (b+c) = a \cdot b+a \cdot c</math>
:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
:für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
::(b+c):a = b:a+c:a
::<math>(b+c):a = b:a+c:a</math>
</div>
 
| width="50%" style="vertical-align:top" |
| width="70%" style="vertical-align:center" |
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
 
 
===Beispiel===
 


''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
{{Box|1=Übung|2=
<br />
<math>T(a;b)= 3a+(7b+2a) </math>
T(a;b)= 3a+(7b+2a)
<math>\overset{(KG)}{= } 3a+(2a+7b) </math>
: <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b)  
<math>\overset{(AG)}{= } (3a+2a)+7b  </math>
:<sup>(AG)</sup>= (3a+2a)+7b   
<math>= 5a+7b </math>
:= 5a+7b


Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
Vereinfache nun selbst folgende Terme:
Vereinfache nun selbst folgende Terme:


a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)
a) <math> T(a;b)= 7a+(9b+6a) </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
a) <math> T(a;b)= 7a+(9b+6a) </math>


b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
<math>\overset{(KG)}{= } 7a+(6a+9b) </math>


c)T(a;b)= (3+5•x)•x
<math>\overset{(AG)}{= } (7a+6a)+9b </math>


<popup name="Lösung">
<math>= 13a+9b </math>
a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)
<br>
:<sup>(KG)</sup>= 7a+(6a+9b) 
}}
:<sup>(AG)</sup>= (7a+6a)+9b 
:= 13a+9b


b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
b) <math> T(a;b)= 2 \cdot (a \cdot 3) \cdot b+4 \cdot (a \cdot 5) \cdot b </math>
:<sup>(KG)</sup>= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b 
: <sup>(AG)</sup>=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b
:= 6ab+20ab
:= 26ab


c)T(a;b)= (3+5•x)•x
{{Lösung versteckt|1=
:<sup>(DG)</sup>= 3•x+5•x•x
b) <math>  T(a;b)= 2 \cdot (a \cdot 3) \cdot b+4 \cdot (a \cdot 5) \cdot b </math>
:= 3x+5x<sup>2</sup>
</popup> </div>
<br /><br />


==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> ==
<math> \overset{(KG)}{= }  2 \cdot (3 \cdot a) \cdot b+4 \cdot (5 \cdot a) \cdot b </math>


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
<math> \overset{(AG)}{= } (2 \cdot 3) \cdot a \cdot b+(4 \cdot 5) \cdot a \cdot b </math>
*5•x+3•x=


*5•x-3•x=
<math> = 6ab+20ab </math>
<popup name="Lösung">
*5•x+3•x= 8•x=8x


*5•x-3•x= 2•x= 2x
<math> = 26ab </math>
</popup>  
<br>
<br />
}}
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
 
c) <math> T(x)= (3+5 \cdot x) \cdot x </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
c) <math> T(a;b)= (3+5 \cdot x) \cdot x </math>
 
<math> \overset{(DG)}{= }  3 \cdot x+5 \cdot x \cdot x </math>
 
<math> = 3x+5x^2</math>
<br>
}}
|3=Üben}}
 
==Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder==
 
{{Box|1=Augaben|2=Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
 
*<math> 5 \cdot x+3 \cdot x= </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>5 \cdot x+3 \cdot x= 8 \cdot x=8x </math>
<br>
}}
 
*<math>5 \cdot x-3 \cdot x=  </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>5 \cdot x-3 \cdot x= 2 \cdot x= 2x </math>
<br>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
===Erklärung:===
 
{{Box|1=Zusammenfassen mit Hilfe des Distributivgesetzes|2=
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x
::<math>m \cdot x + n \cdot x = ( m+n ) \cdot x </math>


Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x
::<math> m \cdot x - n \cdot x = ( m-n ) \cdot x </math>
</div>
 
<br />
{{Lösung versteckt|1='''Koeffizient'''
''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
 
T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
Ein Koeffizient ist eine reelle Zahl, die mit einer Variable multipliziert wird.
Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
 
zum Beispiel:
3x+4y
 
hier sind 3 und 4 Koeffizienten|2=Definition Koeffizienten|3=Definition ausblenden}}
|3=Merksatz}}
 
{{Box|1=Übung|2=
<math> T(x)= 9 \cdot x-6+7 \cdot x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2 </math>
<br />Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:


* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
* <math> T(z)= 8 \cdot z^2-7+3 \cdot z+(4 \cdot z^2+2 \cdot z^2)-2z </math>
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math>  
{{Lösung versteckt|1=
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
<math> T(z)= 8 \cdot z^2-7+3 \cdot z+(4 \cdot z^2+2 \cdot z^2)-2z = </math>  
<popup name="Lösung">
 
<math>= 8z^2-7+3z+6z^2-2z =  </math>


* T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z =
<math>= 8z^2+6z^2+3z-2z-7 = </math>
:= 8z<sup>2</sup>-7+3z+6z<sup>2</sup>-2z =
:= 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =  
:= 14z<sup>2</sup>+z-7
* T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =
:= 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =
:= 2,8n<sup>2</sup>+0,3n<sup>2</sup>+2,2n+2,7n-0,25 =
:= 3,1n<sup>2</sup>+4,9n-0,25
* T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) =
:= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+2ab+9a =
:= 4a<sup>2</sup>-2a+9a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 =
:= 4a<sup>2</sup>+7a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2
</popup> </div>
<br />


==<span style="color: green">Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl </span> ==
<math>= 14z^2+z-7 </math>
<br>
}}


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''
* <math> T(n)= 2,2 \cdot n+2,8 \cdot n^2-0,25+ \left[ n(2,7+0,3n)\right]</math>
Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
{{Lösung versteckt|1=


T(x)= (3•a)•2
<math> T(n)= 2,2 \cdot n+2,8 \cdot n^2-0,25+ \left[ n(2,7+0,3n)\right] = </math>
<popup name="Lösung">
 
T(x)= (3•a)•2=
<math> = 2,2n+2,8n^2-0,25+ \left[ 2,7n+0,3n^2)\right] = </math>
:<sup>(AG)</sup> = 3•(a•2) =  
 
:<sup>(KG)</sup> = 3•(2•a) =
<math> = 2,2n+2,8n^2-0,25+2,7n+0,3n^2 = </math>
:<sup>(AG)</sup> = (3•2)•a =  
 
: = 6•a
<math> = 2,8n^2+0,3n^2+2,2n+2,7n-0,25 = </math>
: = 6a
 
</popup>  
<math> = 3,1n^2+4,9n-0,25 </math>
<br />
<br>
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
}}
 
* <math> T(a;b)= 4a^2-2a+3b+2-8b^2+a(2b+9) </math>
 
{{Lösung versteckt|1=
 
<math> T(a;b)= 4a^2-2a+3b+2-8b^2+a(2b+9) = </math>
 
<math>= 4a^2-2a+3b+2-8b^2+2ab+9a = </math>
 
<math>= 4a^2-2a+9a+2ab-8b^2+3b+2 = </math>
 
<math>= 4a^2+7a+2ab-8b^2+3b+2 </math>
<br>
}}
|3=Üben}}
 
 
==Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl==
 
{{Box|1=Aufgabe|2=Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
 
<math> T(x)= (3 \cdot a) \cdot 2 </math>
{{Lösung versteckt|1=
<math>T(x)= (3 \cdot a) \cdot 2=  </math>
 
<math> \overset{(AG)}{= }  3 \cdot (a \cdot 2) = </math>
 
<math> \overset{(KG)}{= }  3 \cdot (2 \cdot a) = </math>
 
<math> \overset{(AG)}{= } (3 \cdot 2) \cdot a = </math>
 
<math> = 6 \cdot a </math>
 
<math> = 6a</math>
<br>
}}
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
===Erklärung===
 
{{Box|1=Kommutativ- und Assoziativgesetz kombiniert|2=
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
:(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a
:<math> ( 4 \cdot a ) \cdot 3 = 4 \cdot (a \cdot 3) = 4 \cdot ( 3 \cdot a) = ( 4 \cdot 3 ) \cdot a = 12 \cdot a = 12a </math>|3=Merksatz}}
</div>
 
<br />
 
 


{{Box|1=Übung|2=
Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.


T(a)= (14•a):2
<math> T(a)= (14 \cdot a):2 </math>
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
T(a)= (14•a):2=
<math> T(a)= (14 \cdot a)/2 = </math>
:= <math>\frac{14*a}{2}</math>  
 
<math> = \frac{14 \cdot a}{2} </math>
 
<math> = \frac{7 \cdot a}{1} </math>
 
<math> = 7 \cdot a  </math>


<math> = 7a </math>
<br>
}}
|3=Üben}}


:= <math>\frac{7*a}{1}</math>


===Erklärung===


:= 7•a
{{Box|1=Kommutativ- und Assoziativgesetz kombiniert|2=
:= 7a
</popup>
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
: (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a
</div><br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''


Forme möglichst einfache Terme:
: <math> ( 9*a ) : 3 = \frac{9*a}{3} = \frac{3*a}{1} = 3 \cdot a = 3a </math>|3=Merksatz}}
 


* (-6n):2
{{Box|1=Übung|2=Forme möglichst einfache Terme:
* 24•0,5b
* 2m•6
* 25y:(-0,1)
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math>
* (2y+5y-6y)•2
<popup name="Lösung">


* (-6n):2= <math>\frac{-6n}{2}</math> = <math>\frac{-3n}{1}</math> = -3n
* <math> (-6n):2 </math>
* 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b
* <math> 24 \cdot 0,5b </math>
* 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m
* <math> 2m \cdot 6 </math>
* 25y:(-0,1)= <math>\frac{25y}{-0,1}</math> = <math>\frac{-250y}{1}</math> = -250y
* <math> 25y:(-0,1) </math>
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math> = <math>\left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{4x}{12}\right)  :3</math> = <math>\left( \frac{x}{3}\right)  :3</math> = <math>\frac{x}{3} *\frac{1}{3} </math> = <math>\frac{x}{9}  </math>  
* <math> \left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3 </math>
* (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y
* <math> (2y+5y-6y) \cdot 2 </math>
</popup> </div>
 
<br />
{{Lösung versteckt|1=
* <math> (-6n):2= \frac{-6n}{2} = \frac{-3n}{1} = -3n </math>
* <math> 24 \cdot 0,5b= (24 \cdot 0,5) \cdot b= 12 \cdot b= 12b </math>
* <math> 2m \cdot 6= (2 \cdot 6) \cdot m= 12 \cdot m= 12m </math>
* <math> 25y:(-0,1)= \frac{25y}{-0,1} = \frac{-250y}{1} = -250y </math>
* <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3 = \left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3 = \left( \frac{4x}{12}\right)  :3 = \left( \frac{x}{3}\right)  :3 = \frac{x}{3} *\frac{1}{3} = \frac{x}{9}  </math>  
* <math> (2y+5y-6y) \cdot 2= y \cdot 2= 2y </math>
}}
|3=Üben}}
 
==Übungsaufgaben==
 
{{Box|1=Aufgabe 1|2=


==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''
Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>''' 1: '''</big>
<big>''' 1: '''</big>


T<sub>1</sub> (x)= 5x-2x+6x
<math> T_1(x)= 5x-2x+6x </math>


T<sub>2</sub> (x)= 2•x•2+5x
<math> T_2(x)= 2 \cdot x \cdot 2+5x</math>
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)  
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)  


<big>''' 2 : '''</big>
<big>''' 2 : '''</big>


T<sub>1</sub> (y)= 4y-3•4y+15
<math> T_1(y)= 4y-3 \cdot 4y+15</math>


T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
<math> T_2(y)= 3 \cdot 5+2y-4y-6y</math>


(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)


<big>''' 3: '''</big>
<big>''' 3: '''</big>


T<sub>1</sub> (y;z)= 2y-3+z
<math> T_1(y;z)= 2y-3+z</math>


T<sub>2</sub> (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8
<math> T_2(y;z)= 5y \cdot 2+z+5-8y-8</math>


(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
(äquivalent)  (!nicht äquivalent)
Zeile 222: Zeile 300:
<big>''' 4: '''</big>
<big>''' 4: '''</big>


T<sub>1</sub> (z)= 4•<math>\frac{3}{2}</math> -2z
<math> T_1(z)= 4 \cdot\frac{3}{2} -2z </math>


T<sub>2</sub> (z)= 6+8z-5•20%-z•9
<math> T_2(z)= 6+8z-5 \cdot 20%-z \cdot 9</math>


(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
Zeile 230: Zeile 308:
<big>''' 5: '''</big>
<big>''' 5: '''</big>


T<sub>1</sub> (r)= 3r-2<sup>3</sup> r+5-r
<math> T_1(r)= 3r-2^3 r+5-r </math>


T<sub>2</sub> (r)= 3•r•2
<math> T_2(r)= 3 \cdot r \cdot 2 </math>
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
(!äquivalent)  (nicht äquivalent)
</div>


</div>
|3=Arbeitsmethode}}


<br><br><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />


</div>
{{Box|1=Aufgabe 2|2=
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h<sub>c</sub> verdreifacht?
Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h<sub>c</sub> verdreifacht?
<popup name="Lösung">
 
A = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub><br />
{{Lösung versteckt|1=
A <sub>neu</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•2•c•3•h<sub>c</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•2•6 = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•6 = A•6 = 6A
<math> A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c </math><br />
<math> A _{neu} = \frac{1}{2} \cdot 2  \cdot c \cdot 3 \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c  \cdot 2 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \cdot 6 = A \cdot 6 = 6A </math>


Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.
Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.
</popup> </div>
}}
<br />
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
|3=Arbeitsmethode}}
Wie ändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die Länge verdoppelt, die Breite vervierfacht und die Höhe halbiert?
 
<popup name="Lösung">
 
V = l•b•h<br />
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
V<sub>neu</sub> = 2•l•4•b• <math>\frac{1}{2}</math> •h = 2•4•<math>\frac{1}{2}</math>•l•b•h = 4•l•b•h<br />
Das Volumen des Quaders vervierfacht sich.
</popup> </div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.


{{{!}} class="wikitable center"
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! ursprünglicher Term !! <math> 3x+2x^2-x+3x^2 </math> !! <math> 7x+x </math> !! <math> x^3-x^2+2x^3 </math>  !! <math> x \cdot x \cdot x </math> !! <math> x+x-2x </math> !! <math>x-2x </math> !! <math> x+x+3x^2 </math>
{{!}}-
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{{!}}-
{{!}}}


{| class="wikitable center"
{{Lösung versteckt|SPITZE!|Lösungswort|Lösungswort verbergen}}
|- style="background: #DDFFDD;"
 
! ursprünglicher Term
|3=Arbeitsmethode}}
! 3x+2x<sup>2</sup>-x+3x<sup>2</sup>
! 7x+x
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! x•x•x
! x+x-2x
! x-2x
! x+x+3x<sup>2</sup>
|-
| 1.Vorschlag
| 5x<sup>2</sup>+2x  [S]
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| 2.Vorschlag
| 6x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>  [F]
| 8x  [P]
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|}
<br />
Lösungswort: <big><u style="color:blue;background:blue">SPITZE!  </u></big><br />(Zum Sichtbarmachen mit der Maus markieren)</div>
<br /><br />
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{{Fortsetzung|weiter=Auflösen von Klammern|weiterlink=../Auflösen von Klammern}}
[[Kategorie:Variable]]
[[Kategorie:Terme]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:02 Uhr


Äquivalente Terme

Aufgabe

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der grün markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: )

Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.

Einstieg addierensubtrahieren neu.jpg


1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also:

2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also

Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind gleichwertig.

Erklärung

Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen gleichwertig oder äquivalent. Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.

Rechengesetze:

  • Kommutativgesetz (KG): für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
  • Assoziativgesetz (AG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
  • Distributivgesetz (DG): für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
für alle rationalen Zahlen a, b, c (a 0) gilt:

Erklärwurm.gif


Beispiel

Übung

Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen. Vereinfache nun selbst folgende Terme:

a)

a)


b)

b)


c)

c)


Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder

Augaben

Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:




Erklärung:

Zusammenfassen mit Hilfe des Distributivgesetzes

Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die Koeffizienten addiert und die gemeinsame Variable beibehält:

Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:

Koeffizient

Ein Koeffizient ist eine reelle Zahl, die mit einer Variable multipliziert wird.

zum Beispiel: 3x+4y

hier sind 3 und 4 Koeffizienten

Übung


Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.
Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:





Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl

Aufgabe

Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.



Erklärung

Kommutativ- und Assoziativgesetz kombiniert

Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man einen der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.



Übung

Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.



Erklärung

Kommutativ- und Assoziativgesetz kombiniert

Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man einen der Faktoren durch diese Zahl dividiert.


Übung

Forme möglichst einfache Terme:

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Prüfe, ob die Terme äquivalent sind

1:

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

2 :

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

3:

(äquivalent) (!nicht äquivalent)

4:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle T_2(z)= 6+8z-5 \cdot 20%-z \cdot 9}

(!äquivalent) (nicht äquivalent)

5:

(!äquivalent) (nicht äquivalent)


Aufgabe 2

Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe hc verdreifacht?


Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.


Aufgabe 3

Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.

ursprünglicher Term
1.Vorschlag
2.Vorschlag
SPITZE!