Terme/Aufstellen und Interpretieren von Termen: Unterschied zwischen den Versionen

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= <span style="color: green">Aufstellen und Interpretieren von Termen</span> =
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Terme}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
==<span style="color: green">Aufstellen von Termen </span> ==


__NOTOC__
=Aufstellen und Interpretieren von Termen=
==Aufstellen von Termen==
===Aufgabenstellung===


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|
Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.
Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.


|width="20%" style="vertical-align:top"|
[[Bild:einstiegsaufg_termaufstellen2neu.jpg|center|600px]]
|width="55%" style="vertical-align:center"|
 
[[Bild:einstiegsaufg_termaufstellen2neu.jpg]]
 
|}<br /><br />
{{Lösung versteckt|1=
<math>A(a,b)= 8 \cdot a \cdot b + 6 \cdot a \cdot a = 8ab+6a^2 </math>
[[Bild:Einstiegsaufg_termaufstellen_lösungneu‎.jpg|center|600px]]
}}
 
Setze nun für a=1cm und b=4cm ein
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>A(1,4)= 8 \cdot 1cm \cdot 4cm+6 \cdot (1cm)^2 = 32cm^2+6 \cdot 1cm^2 = 32cm^2 + 6cm^2 = 38 cm^2</math>
}}


===Erklärung:===


Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:


<popup name="Lösung">
Das Rezept:
{|width="99%"
 
|width="40%" style="vertical-align:top"|
#Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
A(a;b)= 8•a•b+6•a•a = 8ab+6a<sup>2</sup>
#Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
|width="20%" style="vertical-align:top"|
#Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:Einstiegsaufg_termaufstellen_lösungneu‎.jpg]]
|}<br /><br />
</popup>


Setze nun für a=1cm und b=4cm ein


<popup name="Lösung">
===Beispiel===
A(1;4)= 8•1cm•4cm+6•(1cm)<sup>2</sup> = 32cm<sup>2</sup>+6•1cm<sup>2</sup> = 32cm<sup>2</sup>+6cm<sup>2</sup> = 38 cm<sup>2</sup>
</popup>
<br /><br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:
<span style="color: green"><u>Rezept</u></span>
{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|
# Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
# Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
# Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge
|width="50%" style="vertical-align:top"|
|width="70%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erklärwurm.gif]]
|}
</div>


Gehe nach dem "Rezept" vor und stelle einen Term auf, um den Flächeninhalt der Figur zu errechnen.


[[Bild:BspTermaufstellenneu1.jpg]]


''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
{|
! width="910" |
|-
| valign="top" |
''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
{|
! width="600" |
! width="10" |
|-
| valign="top" |
<br /> <br />Gehe nach dem "Rezept" vor und stelle einen Term auf, um den Flächeninhalt der Figur zu errechnen.


|} <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=
|
# Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist <math> A_R = 2 \cdot 1 </math>. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt  <math> A_F= 6 \cdot 2 \cdot 1 </math>
| valign="top" |
# Variablen einführen: Wähle für 2=a und für 1=b
[[Bild:BspTermaufstellenneu.jpg]] <br /> <br />
# Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet:  <math> 6 \cdot a \cdot b </math>
|}
: Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus <math>\mathbb{Q}</math> einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also <math>\mathbb{D} = \mathbb{Q}^{+}</math>}}
<popup name="Lösung">


# Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist A<sub>R</sub> = 2•1. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt A<sub>F</sub>= 6•2•1
# Variablen einführen: Wähle für 2=i und für 1=j
# Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet: 6•i•j
: Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus <math>Q</math> einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also <math>D</math>=<math>Q</math><sup>+</sup>
</popup> </div>


<br />
==Interpretieren von Termen==


==<span style="color: green">Interpretieren von Termen </span> ==
===Aufgabenstellung===


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
<br />Herr Flimmer ist Besitzer eines Kinos. Er verkauft pro Woche 500 Karten, eine Karte kostet bei ihm 8€. Sein Freund hat für ihn eine Umfrage gemacht, ob eine Senkung des Eintrittspreises seine Einnahmen erhöhen könnte. Sein Ergebnis: Wenn Herr Flimmer seinen Preis um 1 € senken würde, würde er 200 Karten mehr verkaufen.
'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
{| width="99%"
<br />Herr Flimmer ist Besitzer eines Kinos. Er verkauft pro Woche 500 Karten, eine Karte kostet bei ihm 8€. Sein Freund hat für ihn eine Umfrage gemacht, ob eine Senkung des Eintrittspreises seine Einnahmen erhöhen könnte. Sein Ergebnis:  
| width="40%" style="vertical-align:top" |
{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|
Aus den Umfragebögen hat er diese Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellt:  
Aus den Umfragebögen hat er diese Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellt:  
<br />E(x) = 8 - x ( 500 + 200 x )
 
<math> E(x) = (8 - x)  \cdot ( 500 + 200 \cdot  x ) </math>
<br />
<br />
* Überlege, welche Bedeutung das x hat und bei welchem Preis er die meisten Einnahmen hat.
* Wie viele Karten verkauft er dann?
<br /><popup name="Lösung">
* x steht hier für die Veränderung des Preises [8-x]
Die Formel bedeutet, dass um jeden Euro, den Herr Flimmer die Kinokarte senkt, ihn 200 Gäste mehr besuchen werden.
<br />Die größten Einnahmen kann man aus dem Diagramm ablesen: Bei einem Preis von 7 € (Veränderung des Preises um 1 Einheit). Die Einnahmen sind hier 4900€.
* Wenn er die Karten für 7€ verkauft, ändert er seinen ursprünglichen Preis um 1, das heißt er verkauft zu den 500 Karten zusätzlich noch 200, also insgesamt 700 Karten
</popup>
|width="20%" style="vertical-align:top"|
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:kinodiagramm.jpg|450px]]
|}<br /><br />


*Überlege, welche Bedeutung das x hat und bei welchem Preis er die meisten Einnahmen hat.
*Wie viele Karten verkauft er dann?
[[Bild:kinodiagramm.jpg|450px|center]]
{{Lösung versteckt|1=
*x steht hier für die Veränderung des Preises [8-x]
:Die Formel bedeutet, dass um jeden Euro, den Herr Flimmer die Kinokarte senkt, ihn 200 Gäste mehr besuchen werden.
:Die größten Einnahmen kann man aus dem Diagramm ablesen: Bei einem Preis von 7 € (Veränderung des Preises um 1 Einheit). Die Einnahmen sind hier 4900€.
*Wenn er die Karten für 7€ verkauft, ändert er seinen ursprünglichen Preis um 1, das heißt er verkauft zu den 500 Karten zusätzlich noch 200, also insgesamt 700 Karten
}}


<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''


{|width="99%"
===Erklärung===
|width="60%" style="vertical-align:top"|
<br /> <br /> Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben.


Zum Beispiel beschreibt a•b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.
{{Box|1=Erklärung|2=Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben.
<br /> <br />
|width="5%" style="vertical-align:top"|
|width="20%" style="vertical-align:center"|
| valign="top" |
[[Bild:rechteck_bspaufg2.2neu.jpg]] <br /> <br />


|width="20%" style="vertical-align:top"|
Zum Beispiel beschreibt <math> a \cdot b </math> den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.
|width="30%" style="vertical-align:center"|
 
[[Bild:erklärwurm.gif]]
[[Bild:rechteck_bspaufg2.2neu.jpg]]
|}
|3=Merksatz}}


</div>
===Beispiel===


<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''<br />
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.


* Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, der die Kosten der Internetnutzung in Abhängigkeit der gesurften Zeit x angibt.
*Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, wobei x die gesurfte Zeit angibt.
<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|1=
: Für Netzfetz: T<sub>1</sub> (x) = (x-10)•2
: Für Netzfetz: <math> T_1 (x) = (x-10) \cdot 2 </math>
: Für 2&3 : T<sub>2</sub> (x) = (x-20)•4
: Für 2&3 : <math> T_2 (x) = (x-20) \cdot 4 </math>
</popup>
}}
* Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?  
 
<popup name="Lösung">
*Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?
{| class="wikitable center"
 
! Kosten/Surfzeit
{{Lösung versteckt|1=
! 20
{{{!}} class="wikitable center"
! 25
{{!}}-
! 30
! Kosten/Surfzeit !! 20 !! 25 !! 30 !! 35 !! 40  
! 35
{{!}}-
! 40
{{!}}  T<sub>1</sub> (x) = (x-10)2 {{!}}{{!}} 20 € {{!}}{{!}} 30 € {{!}}{{!}}  40 € {{!}}{{!}}  50 € {{!}}{{!}} 60 €  
|-
{{!}}-
| T<sub>1</sub> (x) = (x-10)2
{{!}} T<sub>2</sub> (x) = (x-20)4 {{!}}{{!}} 0 € {{!}}{{!}}  20 € {{!}}{{!}}  40 € {{!}}{{!}}  60 € {{!}}{{!}}  80€
| 20 €
{{!}}}
| 30 €
 
| 40 €
| 50 €
| 60 €
|-
| T<sub>2</sub> (x) = (x-20)4
| 0 €
| 20 €
| 40 €
| 60 €
| 80 €
|}
Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen.
Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen.
Julia surft 25 Stunden: Die Kosten des Terms T<sub>2</sub> sind kleiner als die des ersten Terms. Also sollte Julia das Angebot von 2&3 wählen.
Julia surft 25 Stunden: Die Kosten des Terms T<sub>2</sub> sind kleiner als die des ersten Terms. Also sollte Julia das Angebot von 2&3 wählen.
</popup>
}}
* Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.<br />
 
<popup name="Lösung">
*Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.<br />
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Bild:diagramm_internetprovider2.jpg]]
[[Bild:diagramm_internetprovider2.jpg]]
</popup> </div><br />
}}


==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
==Übungsaufgaben==


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''
{{Box|1=Aufgabe 1|2=Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:
<br />Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:


a) Addiere 2 zum Quadrat von x
a) Addiere 2 zum Quadrat von x
Zeile 173: Zeile 127:
d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl
d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl


e) Multipliziere den Vorgänger der natürlichen Zahl n mit seinem Nachfolger
<popup name="Lösung">
a) T(x)= x<sup>2</sup>+2


b) T(n)= 4n+6
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>T(x)= x^2+2</math>


c) T(b)= (b+7)4
b) <math>T(n)= 4n+6</math>


d) T(x)= x(-x)
c) <math>T(b)= (b+7)4</math>


e) T(n)= (n-1)(n+1)
d) <math>T(x)= x(-x)</math>
</popup> </div>


}}
|3=Arbeitsmethode}}


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''<br />Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!
[[Bild:termgliederungsbaum2.1.jpg|550px]]
<popup name="Lösung">
Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: T(x)= (x+1):(7-<math>\frac{x}{2}</math>)


T(4)= (4+1):(7-<math>\frac{4}{2}</math>) = 5:(7-2) = 5:5 = 1
{{Box|1=Aufgabe 2|2=Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!
</popup> </div>
[[Bild:termgliederungsbaum2.1.jpg|500px|center]]
{{Lösung versteckt|1=
Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: <math>T(x)= (x+1):(7-\frac{x}{2})</math>


<math>T(4)= (4+1):(7-\frac{4}{2}) = 5:(7-2) = 5:5 = 1 </math>
}}
|3=Arbeitsmethode}}




<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
{{Box|1=Aufgabe 3|2=Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n<sup>2</sup>+2 lautete.
<br />Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n<sup>2</sup>+2 lautete.
Warum gibt es jeweils zwei Möglichkeiten?
Warum gibt es jeweils zwei Möglichkeiten?


Zeile 210: Zeile 162:
d) T(?)= 6
d) T(?)= 6


<popup name="Lösung">
 
{{Lösung versteckt|1=
Es gibt zwei Möglichkeiten, da ein Glied des Term n<sup>2</sup> lautet. Eine quadrierte Zahl ist immer positiv. (Bsp.: 3<sup>2</sup>=9=(-3)<sup>2</sup> )
Es gibt zwei Möglichkeiten, da ein Glied des Term n<sup>2</sup> lautet. Eine quadrierte Zahl ist immer positiv. (Bsp.: 3<sup>2</sup>=9=(-3)<sup>2</sup> )


a) T(4)= T(-4)= 4<sup>2</sup>+2= 16+2= 18
a) <math>T(4)= T(-4)= 4^2+2= 16+2= 18</math>


b) T(6)= T(-6)= 6<sup>2</sup>+2= 36+2= 38
b) <math>T(6)= T(-6)= 6^2+2= 36+2= 38</math>


c) T(1)= T(-1)= 1<sup>2</sup>+2= 1+2= 3
c) <math>T(1)= T(-1)= 1^2+2= 1+2= 3</math>


d) T(2)= T(-2)= 2<sup>2</sup>+2= 4+2= 6
d) <math>T(2)= T(-2)= 2^2+2= 4+2= 6</math>
</popup> </div>


}}
|3=Arbeitsmethode}}




<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
{|
 
! width="910" |
Gib einen Term an, der den Flächeninhalt der abgebildeten Figur berechnet.  
|-
| valign="top" |
{|
! width="800" |
! width="10" |
|-
| valign="top" |
<br /> <br /> Gib einen Term an, der den Flächeninhalt der abgebildeten Figur berechnet.  


Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.
Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.


* A(8cm;2cm)
* n = 2 cm
* A(10cm;5cm)
* m = 5 cm
* A(12cm;9cm)
* g = g<sub>1</sub> = 2 cm
* A(15cm;13cm)


<u>Hinweis: Die Figur ist Achsensymmetrisch</u>
<u>Hinweis: Die Figur ist achsensymmetrisch.</u>
|} <br /> <br />
 
|
[[Bild:Drachenviereckneu.jpg|center]]
| valign="top" |
 
[[Bild:drachenviereckaufg4.jpg]] <br /> <br />
{{Lösung versteckt|1=
|}
[[Bild:Drachenviereck_lösung.jpg|right]]
<popup name="Lösung">
 
Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein: A<sub>D</sub> <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">a</span>•<span style="color: darkorange">h<sub>a</sub>
Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein:  
</span>
 
<br />Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe h<sub>a</sub> ist hier g<sub>2</sub> = 2
<math>A_D = \frac{1}{2} a \cdot h_a </math>
<br />Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also: A<sub>D</sub> = <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">(m+n)</span>•<span style="color: darkorange">2</span> = (m+n)•2•<math>\frac{1}{2}</math> = (m+n)•1 = (m+n)
<br />Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe h<sub>a</sub> ist hier g
<br />Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also:  
 
<math> A_D = \frac{1}{2}(m+n) \cdot g = \frac{1}{2} \cdot  (m+n) \cdot g </math>
<br />
<br />
Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks A<sub>DV</sub> zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln: '''A<sub>DV</sub>''' = 2•A<sub>D</sub> = 2•(m+n)= '''2(m+n)'''
Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks A<sub>DV</sub> zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln:  
<math> A_{DV}= 2 \cdot A_D = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (m+n) \cdot  g = (m+n) \cdot g </math>
<br /><br />
<br /><br />
<u>Hinweis:</u> Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.
<u>Hinweis:</u> Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.


Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden: A<sub>DV</sub>= (4•<math>\frac{n}{2}</math> )+(4•<math>\frac{m}{2}</math> )
Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden:  
<math>A_{DV} = \frac{1}{2} (g+g_1)n + \frac{1}{2} (g+g_1) m </math>


Das Ergbenis ist gleich.
Das Ergbenis ist gleich.


* A(8cm;2cm)= 2cm(8cm+2cm)=2cm•10cm= 20cm<sup>2</sup>
<math> A_{DV} = (5cm+2cm) \cdot 2cm = 14cm^2 </math>
* A(10cm;5cm)= 2cm(10cm+5cm)= 2cm•15cm= 30cm<sup>2</sup>
 
* A(12cm;9cm)= 2cm(12cm+9cm)= 2cm•21cm= 42cm<sup>2</sup>
}}
* A(15cm;13cm)= 2cm(15cm+13cm)= 2cm•28cm= 56cm<sup>2</sup>
|3=Arbeitsmethode}}
</popup> </div>
 
<br /><br />
[[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen|Weiter zum nächsten Kapitel]]


[[Benutzer:Walla Marina/Facharbeit Lernpfad Terme|Zurück zur Übersicht]]
{{Fortsetzung|weiter=Umformen von Termen|weiterlink=Terme/Umformen von Termen}}
|}
[[Kategorie:Keine Kategorie]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:02 Uhr


Aufstellen und Interpretieren von Termen

Aufstellen von Termen

Aufgabenstellung

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.

Einstiegsaufg termaufstellen2neu.jpg


Einstiegsaufg termaufstellen lösungneu.jpg

Setze nun für a=1cm und b=4cm ein

Erklärung:

Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:

Das Rezept:

  1. Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
  2. Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
  3. Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge


Beispiel

Gehe nach dem "Rezept" vor und stelle einen Term auf, um den Flächeninhalt der Figur zu errechnen.

BspTermaufstellenneu1.jpg


  1. Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist . Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt
  2. Variablen einführen: Wähle für 2=a und für 1=b
  3. Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet:
Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also


Interpretieren von Termen

Aufgabenstellung


Herr Flimmer ist Besitzer eines Kinos. Er verkauft pro Woche 500 Karten, eine Karte kostet bei ihm 8€. Sein Freund hat für ihn eine Umfrage gemacht, ob eine Senkung des Eintrittspreises seine Einnahmen erhöhen könnte. Sein Ergebnis: Wenn Herr Flimmer seinen Preis um 1 € senken würde, würde er 200 Karten mehr verkaufen.

Aus den Umfragebögen hat er diese Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellt:


  • Überlege, welche Bedeutung das x hat und bei welchem Preis er die meisten Einnahmen hat.
  • Wie viele Karten verkauft er dann?
Kinodiagramm.jpg
  • x steht hier für die Veränderung des Preises [8-x]
Die Formel bedeutet, dass um jeden Euro, den Herr Flimmer die Kinokarte senkt, ihn 200 Gäste mehr besuchen werden.
Die größten Einnahmen kann man aus dem Diagramm ablesen: Bei einem Preis von 7 € (Veränderung des Preises um 1 Einheit). Die Einnahmen sind hier 4900€.
  • Wenn er die Karten für 7€ verkauft, ändert er seinen ursprünglichen Preis um 1, das heißt er verkauft zu den 500 Karten zusätzlich noch 200, also insgesamt 700 Karten


Erklärung

Erklärung

Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben.

Zum Beispiel beschreibt den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.

Rechteck bspaufg2.2neu.jpg

Beispiel

Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.

  • Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, wobei x die gesurfte Zeit angibt.
Für Netzfetz:
Für 2&3 :
  • Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?
Kosten/Surfzeit 20 25 30 35 40
T1 (x) = (x-10)2 20 € 30 € 40 € 50 € 60 €
T2 (x) = (x-20)4 0 € 20 € 40 € 60 € 80€

Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen.

Julia surft 25 Stunden: Die Kosten des Terms T2 sind kleiner als die des ersten Terms. Also sollte Julia das Angebot von 2&3 wählen.
  • Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.
Diagramm internetprovider2.jpg

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:

a) Addiere 2 zum Quadrat von x

b) Addiere 6 zum vierfachen der Zahl n

c) Multipliziere die Summe aus b und der Zahl 7 mit 4

d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl


a)

b)

c)

d)


Aufgabe 2

Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!

Termgliederungsbaum2.1.jpg

Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term:


Aufgabe 3

Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n2+2 lautete. Warum gibt es jeweils zwei Möglichkeiten?

a) T(?)= 18

b) T(?)= 38

c) T(?)= 3

d) T(?)= 6


Es gibt zwei Möglichkeiten, da ein Glied des Term n2 lautet. Eine quadrierte Zahl ist immer positiv. (Bsp.: 32=9=(-3)2 )

a)

b)

c)

d)


Aufgabe 4

Gib einen Term an, der den Flächeninhalt der abgebildeten Figur berechnet.

Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.

  • n = 2 cm
  • m = 5 cm
  • g = g1 = 2 cm

Hinweis: Die Figur ist achsensymmetrisch.

Drachenviereckneu.jpg
Drachenviereck lösung.jpg

Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein:


Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe ha ist hier g
Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also:


Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks ADV zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln:

Hinweis: Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.

Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden:

Das Ergbenis ist gleich.