Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest

Beim Signifikanztest können zwei Fehlentscheidungen auftreten.

Folgende Tabelle stellt beide Fehlerarten dar.

Den Fehler 1. Art habt ihr bereits kennen gelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signikanzniveau kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer als das festgelegte Signifkanzniveau sein.

Der Fehler 2. Art besteht daraus, dass eine falsche Nullhypothese fälschlicherweise beibehalten wird. Im Gegensatz zurm Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht konrollieren. Zudem lässt sich dieser Fehler nur berechnen, wenn der wahre Wert bekannt ist. Da dies selten der Fall ist, findet dieser Fehler selten Anwendung in der Praxis.

Zur Veranschaulichung betrachten wir wieder unser Klima-Beispiel: Sei ......... Der Fehler 1. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch das Ergenis der Stichprobe allerdings vermutetet wird das der Anteil größer ist.
Beim Fehler 2. Art sehen tatsächlich mehr als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung an, durch das Stichprobenergebnis wird allerdings die Aussage (71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an) nicht verworfen und fälschlicherweise beibehalten.

Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Es soll die Aussage "71 % der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an" überprüft werden. Dazu werden 1000 Menschen in Deutschland befragt.

a) Skizziere die zugehörige Binomialverteilung.

Bereche folgende Wahrscheinlichkeiten!

b) Das in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

Nutze die Formel von Bernoulli!
Gib im Taschenrechner die Funktion binompdf(n,p,k)ein.
n die Anzahl der Versuche(Befragungen), p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und k die Anzahl der Treffer.

$P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}$$=0,0278$.
In den Taschrenrechner wurde zur Berechnung folgende Funktion eingegeben binomcdf (1000, 0.71, 710).

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.

c) Das höchstens 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Höchtes heißt es können 1,2,3, ...680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

Nutze zur Berechnung die Formel für die kumulierten Wahrscheinlichkeit (siehe Übung 1).
In dem Taschenrechner kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeiten über die Funktion binomcdf(n,p,k)berechnen.

$P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206$
In den Taschenrechner wurde zur Berechnung die Funktion binomcdf(1000, 0.71, 680) eingegeben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06 %

d) Das mindestens 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Wahrscheinlichkeiten für mindetstens werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
P(mindestens k)= 1 - P(höchstens k - 1)
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit der Funktion binomcdf(n,p,k)berechnen.

$P(X\geq740)= 1-P(X\leq739)=0,0191$
In den Taschenrechner berechnest du es wie folgt: 1- binomcdf(1000, 0.71, 739)

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.

Klausurtraining - Signifikanztest