Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.  
{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|<u>Vorwissen</u>]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.  
[[Datei:Porsche918Spyder.jpg|alternativtext=|mini|Porsche 918 Spyder|ohne]]
[[Datei:Porsche918Spyder.jpg|alternativtext=|mini|Porsche 918 Spyder|ohne]]
|Kurzinfo
|Kurzinfo
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==Der Porsche 918 Spyder==
==Der Porsche 918 Spyder==
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math> beschreiben.
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder in den ersten 9 Sekunden. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^3+4,5t^2</math> beschreiben.
 
[[Datei:Weg-Zeit-Kurve Porsche.png|alternativtext=|mini|500x500px|<math>s(t)=0,2t^3+4,5t^2 </math>]]
[[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini|alternativtext=|450x450px|<math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math>]]


:{| class="wikitable"
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==Mittlere Änderungsrate==
==Mittlere Änderungsrate==
  {{Box|Aufgabe 1|Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsraten in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.
  {{Box|Aufgabe 1.1|Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe eine mittlere Änderungsrate in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.  
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. |Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. <u>[[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen#Die mittlere .C3.84nderungsrate|Weitere Hilfe.]]</u> |Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
}}
{{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.
{{Box|Aufgabe 1.2 (ca. 15-20 min)|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.


a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br />  
a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br />  
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.
Überprüfe deine Ergebnisse in [[/Lösungskontrolle/|<u>diesem Applet</u>]] mit Hilfe [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen#Die mittlere .C3.84nderungsrate|<u>des geometrischen Zusammenhangs</u>]] der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.


{{Lösung versteckt|[[/Lösungskontrolle/|zum Applet]]<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>}}|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}


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==Momentane Änderungsrate==
==Momentane Änderungsrate==
{{Box|Aufgabe 3|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinern Sie dieses. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> [[/Tabelle/|zur Tabelle]]
{{Box|Aufgabe 1.3|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall und die dritte Sekunde als rechte oder linke Grenze. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal, sodass die Geschwindigkeit zur dritten Sekunde möglichst genau bestimmt wird und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> [[/Tabelle/|zur Tabelle]]
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>  
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>  
b) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in [[/Aufgabe 2 b)/|diesem Applet]] durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.<br />
b) Führen Sie die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in [[/Aufgabe 2 b)/|diesem Applet]] durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halten Sie dies schriftlich fest.<br />
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
{{Lösung versteckt|Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt <math>P(3|f(3))</math> am Graphen von <math>f</math> hat. Diese Gerade nennt man Tangente.
{{Lösung versteckt|Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt <math>P(3|f(3))</math> am Graphen von <math>f</math> hat. Diese Gerade nennt man Tangente.
{{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
{{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
}}|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
}}
 
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}


d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
{{Lösung versteckt|Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
{{Lösung versteckt|Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren.  
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
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{{Box|Aufgabe 4|Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.
{{Box|Aufgabe 1.4|Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.
{{Lösung versteckt|Nähert sich <math>x</math> einer Zahl oder einem <math>x_0</math> beliebig nahe, so schreibt man dies kurz mit: <math>\lim_{x\to x_0}</math>
{{Lösung versteckt|Wie sind Sie bei Aufgabe 1.3 vorgegangen um einen möglichst genauen Wert für die Geschwindigkeit in der dritten Sekunden zu erhalten?
|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}  
|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}  


{{Lösung versteckt|{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient  <math>  \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>x_1</math> gegen <math>x_0</math> strebt.<br/>
{{Lösung versteckt|
Um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate, in diesem Fall die Geschwindigkeit zu erhalten, muss man das Zeitintervall der mittleren Änderungsrate so kleine machen, dass es letztendlich als Zeitpunkt interpretiert werden kann. Aus der mittleren Änderungsrate, dem Differenzenquotient, wird die momentane (lokale) Änderungsrate, der Differentialquotient.
<br/>
Geschwindigkeit zur vierten Sekunde: <math>45,6 \frac{m}{s}=164,16 \frac{km}{h} </math>. Ergebnisse können je nach Verkleinerung des Intervall von dieser Lösung abweichen.
<br/>
{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient  <math>  \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>x_1</math> gegen <math>x_0</math> strebt.<br/>
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
}} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
}}
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

Aktuelle Version vom 21. August 2019, 08:56 Uhr

Info

In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.

Porsche 918 Spyder


Der Porsche 918 Spyder

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder in den ersten 9 Sekunden. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion beschreiben.

Zeit (Sekunden) Strecke (Meter)
0 0
1 4,7
2 19,6
3 45,9
4 84,8
5 137,5
6 205,2
7 289,1
8 390,4
9 510,3

Mittlere Änderungsrate

Aufgabe 1.1

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe eine mittlere Änderungsrate in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet.

Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. Weitere Hilfe.
Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Aufgabe 1.2 (ca. 15-20 min)

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
Überprüfe deine Ergebnisse in diesem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.



Momentane Änderungsrate

Aufgabe 1.3

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall und die dritte Sekunde als rechte oder linke Grenze.
a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal, sodass die Geschwindigkeit zur dritten Sekunde möglichst genau bestimmt wird und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
zur Tabelle

GeoGebra

b) Führen Sie die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halten Sie dies schriftlich fest.
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt am Graphen von hat. Diese Gerade nennt man Tangente.

Tangente
Die Gerade, die den Graphen von am Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von am Punkt .

d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?

Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren.


Aufgabe 1.4

Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.

Wie sind Sie bei Aufgabe 1.3 vorgegangen um einen möglichst genauen Wert für die Geschwindigkeit in der dritten Sekunden zu erhalten?

Um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate, in diesem Fall die Geschwindigkeit zu erhalten, muss man das Zeitintervall der mittleren Änderungsrate so kleine machen, dass es letztendlich als Zeitpunkt interpretiert werden kann. Aus der mittleren Änderungsrate, dem Differenzenquotient, wird die momentane (lokale) Änderungsrate, der Differentialquotient.
Geschwindigkeit zur vierten Sekunde: . Ergebnisse können je nach Verkleinerung des Intervall von dieser Lösung abweichen.

Differentialquotient

Der Differenzenquotient kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt beliebig nahe, je näher gegen strebt.

Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient .
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle bezeichnet.