Benutzer:Cloehner/Integralrechnung/Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Merke: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|Ist ''F'' eine Stammfunktionktion zu ''f'', so gilt im Intervall [a;b]: | {{Box|Merke: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|Ist ''F'' eine Stammfunktionktion zu ''f'', so gilt im Intervall [a;b]: | ||
<math>\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)</math> |Merksatz}} | <math>\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)</math> | ||
Für die Differenz der Funktionswerte schreibt man auch kurz: <math>F(b)-F(a)=[F(x)]_{a}^{b}</math>|Merksatz}} | |||
{{Box|Beispiel| | |||
{{Aufgabe|Berechne das Integral <math>\int_{2}^{8} (x^2-4x)\ dx</math>.}} | |||
{{Box|Lösung|<math>\int_{2}^{8} (x^2-4x) \ dx = [\frac{1}{3} x^3-2x^2]_{2}^{8} | |||
=\frac{8^3}{3}-2\cdot 8^2 - (\frac{2^3}{3}-2\cdot 2^2) | |||
=\frac{512}{3}-128-(\frac{8}{3}-8) | |||
=48</math>|Lösung}} | |||
|Hervorhebung1}} | |||
{{Aufgaben|1|Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.}} | |||
{{Aufgaben|2|Berechne analog zum Beispiel <math>\int_{1}^{5}(2x^3-5x) \ dx</math> und <math>\int_{-2}^{4} (6x^2-5) \ dx</math> und kontrolliere deine Ergebnisse mit dem GTR.}} |
Aktuelle Version vom 13. Januar 2019, 16:33 Uhr
Bereits in Abschnitt 4 hast du einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen und den Funktionswerten der entsprechenden Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen erkannt. Dieser Zusammenhang lässt sich für beliebige Stammfunktionen verallgemeinern.
Merke: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Ist F eine Stammfunktionktion zu f, so gilt im Intervall [a;b]:
Beispiel
Aufgabe
Berechne das Integral .
Lösung
Aufgabe 1
Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.
Aufgabe 2
Berechne analog zum Beispiel und und kontrolliere deine Ergebnisse mit dem GTR.