Alles rund um Quadratische Funktionen

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In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Die Scheitelpunktform
Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter ist die -Koordinate und der Parameter ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. .
Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach rechts verschoben.
Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach links verschoben.

Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach unten verschoben.
Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach oben verschoben.

Entdecke
Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform  auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von  verändert.
GeoGebra

2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion und die Punkte

und

.

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte und auf dem Graphen von liegen.

Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den -Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen -Wert
Die Punkte und liegen auf dem Graphen, die Punkte und nicht.

b) Zeichne den Graphen der Funktion und die Punkte in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung


Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.
Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen.
Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".
Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:
Wanted.png

3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.



Betrachtet man die Funktionsgleichung , so steht für die Verschiebung in -Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das steht für die Verschiebung in -Richtung nach oben, falls positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.

Betrachtet man die Funktionsgleichung , so beschreibt die Streckung (falls ) oder die Stauchung (falls ). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten).

Falls ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (), oder nach unten falls negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für . Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

Beispiele sind:

hat ihren Scheitelpunkt bei

hat ihren Scheitelpunkt bei

4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen


Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).



Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise. Du kannst dir auch nochmal das GeoGebra-Applet (oben) anschauen und die Schieberegler bewegen um zu sehen wie sich der Graph und die Funktionsgleichung verändert.
Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung . Für den Scheitelpunkt gilt: . Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter bestimmen. Achte beim Einsetzen von in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.


Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.


Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.

Falls ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (), oder nach unten falls negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für . Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

5. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf.

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung . Überlege dir, was die einzelnen Parameter beschreiben (schaue evtl. Aufgabe 1 nochmal an).
Für den Scheitelpunkt gilt: . Wenn du also den Scheitelpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter bestimmen. Achte beim Einsetzen von in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.
Um den Parameter zu bestimmen musst du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und nach auflösen.

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich:

Setze ein:

Setze ein:

Somit ergibt sich: