Alles rund um Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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(46 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
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|3=Merke}} | |3=Merke}} | ||
{{Box|7. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und | {{Box|7. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalform | ||
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst. | |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst. | ||
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{{Box|8. Finde die Paare* | {{Box|8. Finde die Paare* | ||
|Wandle die Funktionen <math>g, f, o, m, p</math>und <math>n</math> in deinem Heft in die | |Wandle die Funktionen <math>g, f, o, m, p</math>und <math>n</math> in deinem Heft in die Normalform um und die Funktionen <math>j, l, k, i</math>und <math>h</math> in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner. | ||
{{LearningApp|app=pghqpthwj19|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=pghqpthwj19|width=100%|height=400px}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
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|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
===Die | ===Die Normalform=== | ||
{{Box|10. Die | {{Box|10. Die Normalform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}} | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math> an. Diese Funktionsgleichung liegt in der ''' | Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math> an. Diese Funktionsgleichung liegt in der '''Normalform''' vor. In dieser Form kann der '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter '''<math>c</math>'''. | ||
Ist der Parameter <math>a</math> kleiner als Null (<math>a<0</math>), dann ist der Graph der Funktion <math>g</math> nach '''unten''' geöffnet. <br> | Ist der Parameter <math>a</math> kleiner als Null (<math>a<0</math>), dann ist der Graph der Funktion <math>g</math> nach '''unten''' geöffnet. <br> | ||
Der Parameter <math>a</math> wird als '''Streckungsfaktor''' bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform. | Der Parameter <math>a</math> wird als '''Streckungsfaktor''' bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform. | ||
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{{Box|Entdecke | {{Box|Entdecke | ||
|Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der | |Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalform <math> a, b, c </math> auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von <math> f </math> verändert. | ||
<ggb_applet id="hu3wntum" width="1280" height="604" border="888888" /> | <ggb_applet id="hu3wntum" width="1280" height="604" border="888888" /> | ||
|Unterrichtsidee}} | |Unterrichtsidee}} | ||
{{Box| 11. Funktionsgleichung gesucht!| | {{Box| 11. Funktionsgleichung gesucht!| | ||
Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in | Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalform auf (im Heft). | ||
'''a)''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>P(3|2), Q(-1|0)</math> und <math>R(0|7)</math>? | '''a)''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>P(3|2), Q(-1|0)</math> und <math>R(0|7)</math>? | ||
{{Lösung versteckt| 1= Die | {{Lösung versteckt| 1= Die Normalform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c</math>. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst. | ||
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}} | | 2=Tipp 1 | 3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt| 1= Die | {{Lösung versteckt| 1= Die Normalform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c</math>. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst. | ||
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}} | | 2=Tipp 1 | 3=schließen}} | ||
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#* Wenn man den Streckungsfaktor <math>a</math> zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um <math>a</math> Einheiten nach oben (falls <math>a</math> negativ ist nach unten). Falls <math>a<1</math> ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls <math>a</math> negativ ist. | #* Wenn man den Streckungsfaktor <math>a</math> zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um <math>a</math> Einheiten nach oben (falls <math>a</math> negativ ist nach unten). Falls <math>a<1</math> ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls <math>a</math> negativ ist. | ||
# Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form <math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>. Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für <math>x</math> und <math>y</math> ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem mit dem '''Einsetzungsverfahren''', '''Gleichsetzungsverfahren''' oder '''Additionsverfahren'''. | # Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form <math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>. Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für <math>x</math> und <math>y</math> ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem mit dem '''Einsetzungsverfahren''', '''Gleichsetzungsverfahren''' oder '''Additionsverfahren'''. | ||
# Man gelangt von der | # Man gelangt von der Normalform (<math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>) zur Scheitelpunktform (<math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>) mittels '''Quadratischer Ergänzung'''. | ||
# Man gelangt von der Scheitelpunktform (<math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>) zur | # Man gelangt von der Scheitelpunktform (<math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>) zur Normalform (<math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>) durch '''Ausmultiplizieren der Klammer'''. | ||
|Merksatz}} | |Merksatz}} | ||
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{{Box|12. Erkennen der schnellsten Methode zum Nullstellen berechnen. | {{Box|12. Erkennen der schnellsten Methode zum Nullstellen berechnen. | ||
|Ordne zu. | |Ordne die Gleichungen der Methode zu, mit der man die Nullstellen am '''schnellsten''' berechnen kann. | ||
{{LearningApp|app=patu3ez4j19|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=patu3ez4j19|width=100%|height=400px}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Wurzelziehen kann man anwenden wenn nur die Terme der Form <math>a\cdot x^2</math> und <math>c</math> vorkommen also kein Term mit einem <math>x</math> vorhanden ist. Hierzu zählen natürlich auch die Gleichungen wo zweimal ein Term mit <math>x^2</math> vorkommt. Passe auch auf wenn auf beiden Seiten der gleiche Term mit einem <math>x</math> vorkommt, kürzt sich dieser weg. |2= Tipp zu Wurzelziehen|3= schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Ausklammern kann man anwenden wenn nur die Terme der Form <math>a\cdot x^2</math> und <math>b\cdot x</math> vorkommen, also keine Zahl ohne ein <math>x</math> vorhanden ist. Hierzu zählen natürlich auch die Gleichungen wo zweimal ein Term mit <math>x</math> vorkommt. Passe auch auf wenn auf beiden Seiten die gleiche Zahl ohne ein <math>x</math> vorkommt, kürzt sich diese weg. |2= Tipp zu Ausklammern|3= schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die pq-Formel muss man anwenden wenn alle Termformen vorkommen, also <math>a\cdot x^2, b\cdot x</math> und <math>c</math>. Pass hier allerdings auf wenn auf beiden Seiten der gleiche Term mit einem <math>x</math>, oder die gleiche Zahl ohne ein <math>x</math> vorkommt, kürzen sich dieser weg. |2= Tipp zu pq-Formel|3= schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
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Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode. | Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode. | ||
'''a)''' <math>- | '''a)''' <math>-6=\frac{3}{4}\cdot x^2-9</math> | ||
'''b)''' <math>4\cdot x^2=8\cdot x</math> | '''b)''' <math>4\cdot x^2=8\cdot x</math> | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&&- | &&-6 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2-9 &\mid +9\\ | ||
&\Leftrightarrow& 3 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2 &\mid \cdot \frac{4}{3}\\ | &\Leftrightarrow& 3 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2 &\mid \cdot \frac{4}{3}\\ | ||
&\Leftrightarrow& \frac{3\cdot 4}{3} &&=&& x^2 &\mid \sqrt{}\\ | &\Leftrightarrow& \frac{3\cdot 4}{3} &&=&& x^2 &\mid \sqrt{}\\ | ||
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<br /><br /> | <br /><br /> | ||
Somit müssen die Seiten <math>b</math> und <math>a</math> <math>4.75m</math> lang sein, um den maximalen Flächeninhalt von ca. <math>22.56m^2</math> zu erreichen. Da <math>22.56m^2 > 20m^2</math> kann Lina auch sechs Gemüsesorten anpflanzen.|2= Lösung|3=schließen}} | Somit müssen die Seiten <math>b</math> und <math>a</math> <math>4.75m</math> lang sein, um den maximalen Flächeninhalt von ca. <math>22.56m^2</math> zu erreichen. Da <math>22.56m^2 > 20m^2</math> kann Lina auch sechs Gemüsesorten anpflanzen.|2= Lösung|3=schließen}} | ||
[[Datei:Frühbeet1.png|rechts|rahmenlos]] | |||
'''c)**''' Robin möchte Lina gerne helfen und für sie ein Frühbeet bauen, in welchem sie ihre Pflanzen heranzüchten kann. Dafür will er eine rechteckige Box bauen. Diese soll sowohl nach oben und nach unten geöffnet sein, es geht also nur um die Wände. Insgesamt hat Robin <math>30m^2</math> Holz gekauft. Die Höhe der Box soll <math>1.5m</math> betragen. Robin möchte wissen wie er die anderen Seitenlängen wählen muss, um das maximale Volumen zu erhalten. (Du kannst annehmen, dass er keinen Verschnitt hat und die <math>30m^3</math> ohne Verluste verbauen kann.) | '''c)**''' Robin möchte Lina gerne helfen und für sie ein Frühbeet bauen, in welchem sie ihre Pflanzen heranzüchten kann. Dafür will er eine rechteckige Box bauen. Diese soll sowohl nach oben und nach unten geöffnet sein, es geht also nur um die Wände. Insgesamt hat Robin <math>30m^2</math> Holz gekauft. Die Höhe der Box soll <math>1.5m</math> betragen. Robin möchte wissen wie er die anderen Seitenlängen wählen muss, um das maximale Volumen zu erhalten. (Du kannst annehmen, dass er keinen Verschnitt hat und die <math>30m^3</math> ohne Verluste verbauen kann.) | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir was maximiert werden soll und welche Formeln du zu den gegebenen und gesuchten Größen kennst.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Das maximale Volumen ist gesucht und der Flächeninhalt der Mantelfläche und die Höhe sind gegeben.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Du brauchst die Formeln: <br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
1. V &&=&& a \cdot b\cdot c\\ | |||
2. A &&=&& 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c &&=&& 30. | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
(mit <math>a</math> als Höhe).Stelle nun die Formel zum Flächeninhalt nach einer der beiden Variablen um und setzte dies dann für die Variable in der Formel für das Volumen ein.|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Bestimme nun den Scheitelpunkt. Der <math>y</math>-Wert ist der Wert des maximalen Volumens und der <math>x</math>-Wert ist die Länge der einen Seite. Berechne jetzt noch die Länge der anderen Seite.|2=Tipp 4|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Gesucht ist also das maximale Volumen bei einer Mantelfläche von <math>30m^2</math> und einer Höhe von <math>1.5m</math>. Wir brauchen daher die Formeln: <br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | {{Lösung versteckt|1= Gesucht ist also das maximale Volumen bei einer Mantelfläche von <math>30m^2</math> und einer Höhe von <math>1.5m</math>. Wir brauchen daher die Formeln: <br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | ||
V &&=&& a\cdot b\cdot c &\mid \text{Formel für das Volumen} | V &&=&& a\cdot b\cdot c &\mid \text{Formel für das Volumen}\\ | ||
A &&=&& a\cdot b\cdot 2+a\cdot c \cdot 2 &\mid \text{Formel für die Mantelfläche mit a als Höhe} | A &&=&& a\cdot b\cdot 2+a\cdot c \cdot 2 &\mid \text{Formel für die Mantelfläche mit a als Höhe} | ||
\end{array} </math> <br /><br /> | \end{array} </math> <br /><br /> | ||
Da wir den Flächeninhalt <math>(30m^2)</math> und die Höhe <math>(1.5m)</math> gegeben haben können wir diese Werte jeweils einsetzten:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
V &&=&& 1.5\cdot b\cdot c &\mid \text{Formel für das Volumen mit der Höhe 1.5}\\ | |||
30 &&=&& 1.5\cdot b\cdot 2+1.5\cdot c \cdot 2 &\mid \text{Formel für die Mantelfläche mit a als Höhe}\\ | |||
&&=&& 3\cdot b+3\cdot c | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Als nächste müssen wir wie gewohnt umformen. Da diesmal das Volumen maximiert werden soll und wir als zusätzliche Formel den Flächeninhalt haben, müssen wir hier die Formel für den Flächeninhalt nach einer Variable umformen, z.b. nach <math>b</math>:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
&&30 &&=&& 3\cdot b+3\cdot c &\mid -3\cdot c\\ | |||
&\Leftrightarrow& 30-3\cdot c &&=&& 3\cdot b &\mid \div 3\\ | |||
&\Leftrightarrow& 10-c &&=&& b | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Diesen Wert setzen wir nun für <math>b</math> in die Volumenformel ein:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
V(c) &&=&& 1.5\cdot b\cdot c &\mid b=10-c\\ | |||
&&=&& 1.5\cdot (10-c)\cdot c &\mid \text{ausrechnen}\\ | |||
&&=&& 15\cdot c-1.5\cdot c^2 | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Somit haben wir nun eine Formel für das Volumen. Da dieses maximal werden soll müssen wir den Scheitelpunkt bestimmen:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
V(c) &&=&& -1.5\cdot c^2+15\cdot c\\ | |||
&&=&& -1.5\cdot (c^2+10c)\\ | |||
&&=&& -1.5\cdot ((c^2+2\cdot 5 \cdot c+5^2)-5^2)\\ | |||
&&=&& -1.5\cdot ((c+5)^2-5^2)\\ | |||
&&=&& -1.5\cdot (c+5)^2+37.5 | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Wir erhalten daher ein maximales Volumen von <math>37.5m^3</math> wenn <math>c=5m</math> lang ist. Demnach muss <math>b=10-c=10-5=5m</math> lang sein. | |||
|2=Lösung|3=schließen}} | |2=Lösung|3=schließen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |||
{{Box|17. Pizzaladen**| | |||
Laura und Paul möchten zusammen einen Pizzaladen eröffnen. Vorher möchten sie die Produktion kalkulieren. Pro Tag können sie mit Miete, Stromkosten, Wasserkosten, etc. mit rund <math>500</math>€ rechnen. Pro Pizza entstehen durch Material- und Lohnkosten nochmal rund <math>10</math>€. Zusätzlich entstehen für die Produktion von <math>x</math> Pizzen nochmals <math>0.004\cdot x^2</math>€. Pro Pizza möchten sie <math>15</math>€ nehmen. Zusätzlich müssen sie <math>40</math>% von ihrem Gewinn versteuern. Bei welcher Tagesanzahl von Pizzen wäre der verdienst maximal und wie hoch wäre dieser? | |||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir was maximiert werden soll und wie du die gegebene Größen in eine Funktion schreiben kannst.|2=Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Der maximale Gewinn nach Abzug der Steuern ist gesucht (Hinweis: Hier ist Zinssatzrechnung notwendig) ist gesucht. Die Fixkosten, die Kosten pro Stück und der verdienst sind gegeben. Diese müssen nun mit den richtigen Rechenzeichen in eine Funktion gebracht werden. Wichtig zu den steuern ist, dass hier nicht 40% wie bei Zinsen drauf gerechnet, sondern abgezogen werden.|2=Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die Beträge die Kosten verursachen müssen ein Minus bekommen, da sie ja vom Gewinn abgezogen werden.|2=Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Bestimme nun den Scheitelpunkt. Der <math>y</math>-Wert ist der Wert des maximalen Gewinns und der <math>x</math>-Wert ist die Anzahl der Pizzen.|2=Tipp 4|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Da nur die Stückzahl der Pizzen variiert werden kann, setzen wir diese als unser <math>x</math>. Wir bringen nun alle Informationen in einer Gleichung zusammen:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
&&-500 &\mid \text{Es fallen jeden Tag 500€ an die vom Gewinn abgezogen werden}\\ | |||
&&-500-10\cdot x &\mid \text{Zusätzlich fallen pro Pizza 10€ an}\\ | |||
&&-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2 &\mid \text{Zusätzlich fallen 0.004x²€ für x Pizzen an}\\ | |||
&&-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x &\mid \text{Pro Pizza erhalten sie 15€}\\ | |||
&&(-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x)\cdot (1-0.4) &\mid \text{Von dem Gewinn werden nun 40 Prozent Steuern abgezogen, daher mal (1-0.4)}\\ | |||
f(x) &=& (-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x)\cdot (1-0.4) &\mid \text{Dies ist also unsere Funktion} | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Wir haben nun also unsere Funktion gefunden. Diese können wir nun vereinfachen und da wieder das Maximum gesucht ist den Scheitelpunkt bestimmen:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
f(x) &&=&& (-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x)\cdot (1-0.4) &\mid \text{vereinfachen}\\ | |||
&&=&& (-500+5\cdot x-0.004\cdot x^2)\cdot (1-0.4) &\mid \text{Klammer ausmultiplizieren}\\ | |||
&&=&& -500+5\cdot x-0.004\cdot x^2+200-2\cdot x+0.0016x^2 &\mid \text{vereinfachen}\\ | |||
&&=&& -300+3\cdot x-0.0024\cdot x^2 &\mid \text{-0.0024 ausklammern}\\ | |||
&&=&& -0.0024\cdot(125000-1250\cdot x+x^2) &\mid \text{quadratische Ergänzung}\\ | |||
&&=&& -0.0024\cdot((x^2-2\cdot 625\cdot x+625^2)-625^2+125000)\\ | |||
&&=&& -0.0024\cdot((x-625)^2-265625)\\ | |||
&&=&& -0.0024\cdot(x-625)^2-637.5 | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Somit ist also der maximale Gewinn bei einer Produktion von <math>625</math> Pizzen pro Tag gegeben. Der maximale Gewinn beträgt <math>637.5</math>€. | |||
|2=Lösung|3=schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
Zeile 1.098: | Zeile 1.175: | ||
|3=Merke}} | |3=Merke}} | ||
{{Box| | {{Box|18. Kapitalanlage| | ||
Sören (14 Jahre alt) möchte sich mit 16 einen Roller kaufen um unabhängiger zu sein. Er hat bereits durch Geburtstage und Minijobs <math>490</math>€ gespart. Die meisten Roller kosten um die <math>550</math>€. | Sören (14 Jahre alt) möchte sich mit 16 einen Roller kaufen um unabhängiger zu sein. Er hat bereits durch Geburtstage und Minijobs <math>490</math>€ gespart. Die meisten Roller kosten um die <math>550</math>€. | ||
Zeile 1.167: | Zeile 1.244: | ||
Da auch hier eine negative Zahl keinen Sinn macht, beträgt der Zinssatz <math>p=0.01</math>, also in Prozent <math>0.01\cdot 100=1</math>%. | Da auch hier eine negative Zahl keinen Sinn macht, beträgt der Zinssatz <math>p=0.01</math>, also in Prozent <math>0.01\cdot 100=1</math>%. | ||
|2=Lösung|3=schließen}} | |2=Lösung|3=schließen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |||
{{Box|19. Gartenplanung*| | |||
[[Datei:Gartenbau.png|rechts|rahmenlos]] | |||
Katrin arbeitet in einem Gartenbaubetrieb. Sie soll eine rechteckige Fläche gestalten mit den Seitenlängen <math>9m</math> und <math>12m</math>. Am inneren Rand des Rechteckes soll ein Weg verlaufen, der immer gleich breit bleibt und insgesamt die Hälfte der Fläche einnimmt. Wie breit muss der Weg dafür sein? | |||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir was gesucht und was gegeben ist. Kannst du die Größen mit Hilfe von bekannten Formeln in Beziehung setzten?|2= Tipp 1|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die breite des Weges ist gesucht und die Längenangaben des gesamten Rechteckes sind gegeben. Zudem wissen wir, dass der Weg / bzw. das Beet jeweils die Hälfte der Fläche bedecken sollen. Die Fläche können wir durch die gegebenen Längen direkt berechnen. Schaue wie du den Flächeninhalt des Beetes in Abhängigkeit von <math>c</math> berechnen kannst. (Du kannst natürlich auch mit dem Flächeninhalt des Weges rechnen, allerdings ist dieser etwas komplizierter zu berechnen).|2= Tipp 2|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die Seitenlänge <math>a</math> des Beetes lässt sich berechnen durch <math>12-2\cdot c</math> und die von <math>b</math> durch <math>9-2\cdot c</math>. Somit ergibt sich <math>A=(12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c)</math>. Dies muss nun gleich der Hälfte des gesamten Flächeninhaltes sein. Löse die erhaltene Gleichung nach <math>c</math> auf.|2= Tipp 3|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Wir wissen, dass wir insgesamt <math>9m\cdot 12m=108m^2</math> Fläche zur Verfügung haben, wovon der Weg und das Beet jeweils die Hälfte einnehmen sollen. Seien <math>a</math> und <math>b</math> die Seitenlängen des Beetes und <math>c</math> die Breite des Weges, dann ergibt sich:<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
a &&=&& 12-2\cdot c\\ | |||
b &&=&& 9-2\cdot c\\ | |||
\Rightarrow A &&=&& a \cdot b &\mid \text{Flächeninhalt vom Beet}\\ | |||
&&=&& (12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c) &\mid \text{a und b eingesetzt}\\ | |||
&&=&& 54 &\mid \text{soll die Hälfte von 108m² ergeben} | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
<math>(12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c)=54</math> ist somit unsere Gleichung die wir lösen müssen: | |||
<br /><br /> <math> \begin{array}{rlll} | |||
&&(12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c) &&=&& 54 &\mid \text{Klammern ausrechnen}\\ | |||
&\Leftrightarrow& 108-18\cdot c-24\cdot c+4\cdot c^2 &&=&& 54 &\mid \text{vereinfachen}\\ | |||
&\Leftrightarrow& 108-42\cdot c+4\cdot c^2 &&=&& 54 &\mid -54\\ | |||
&\Leftrightarrow& 54-42\cdot c+4\cdot c^2 &&=&& 0 &\mid \div 4\\ | |||
&\Leftrightarrow& c^2-\frac{21}{2}\cdot c+\frac{27}{2} &&=&& 0 &\mid \text{pq-Formel}, p=-\frac{21}{2}, q=\frac{27}{2}\\ | |||
&\Rightarrow& c_{1/2} &&=&& -(-\frac{21}{2\cdot 2})\pm \sqrt{(\frac{21}{2\cdot 2})^2-\frac{27}{2}}\\ | |||
&& &&=&& \frac{21}{4}\pm \sqrt{\frac{441}{16}-\frac{27}{2}}\\ | |||
&& &&=&& \frac{21}{4}\pm \sqrt{\frac{225}{16}}\\ | |||
&& &&=&& \frac{21}{4}\pm \frac{15}{4}\\ | |||
&\Rightarrow& c_1 &&=&& \frac{36}{4} &&=&& 9\\ | |||
&& c_2 &&=&& \frac{6}{4} &&=&& 1.5 | |||
\end{array} </math> <br /><br /> | |||
Somit muss Katrin den Weg <math>1.5m</math> breit machen, damit alle Anforderungen erfüllt sind. | |||
|2=Lösung|3=schließen}} | |||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} |
Version vom 21. November 2019, 08:02 Uhr
In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
Scheitelpunktform
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter ist die -Koordinate und der Parameter ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. .
Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.
Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach rechts verschoben.
Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach links verschoben.
Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach unten verschoben.
Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach oben verschoben.
Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von verändert.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Gegeben seien die Funktion und die Punkte
und
.
a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte und auf dem Graphen von liegen.
Die Punkte und liegen auf dem Graphen, die Punkte und nicht.
b) Zeichne den Graphen der Funktion und die Punkte in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.
Betrachtet man die Funktionsgleichung , so beschreibt die Streckung (falls ) oder die Stauchung (falls ). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten).
Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (), oder nach unten falls negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für . Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)Beispiele sind:
hat ihren Scheitelpunkt bei
hat ihren Scheitelpunkt bei
Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).
Um den Parameter zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.
Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.
Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf (im Heft).
a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
Setze für und ein:
Setze ein:
Setze für und ein:
Setze ein:
Setze für und ein:
Setze ein:
Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion beschreiben, wobei die Entfernung des Steins vom Ufer und die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.
a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?
b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.
Der Scheitelpunkt liegt bei . Für ist es sinnvoll den Nenner, also in einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten (), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. . Das Vorgehen ist identisch: .
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der -Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der -Achse die Höhe des Steins in Meter.c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?
Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.
Also folgt und . Damit haben wir zwei Nullstellen.
- Die allgemeine Scheitelpunktform lautet .
- Der Parameter ist der -Wert des Scheitelpunktes, wobei man hier immer das Vorzeichen in der Klammer umkehren muss.
- Der Parameter ist der -Wert des Scheitelpunktes.
- ist der Scheitelpunkt der Funktion.
- Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
- Ist wird die Funktion gestreckt, ist wird die Funktion gestaucht.
- Ist positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist negativ so ist sie nach unten geöffnet.
- Wenn man den Streckungsfaktor zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten). Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls negativ ist.
- Hat man nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form . Hier kann man den Scheitelpunkt einfach einsetzen für und . Als nächstes setzt man den anderen Punkt für und ein und formt nach um.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Diese lautet
- Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu überführen benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln.
- Um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen benötigst du die Methode der quadratischen Ergänzung.
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
Somit gilt:
(mit und ).
Als Beispiel:
Als Beispiel
Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
Wandle die Funktionen und in deinem Heft in die Normalform um und die Funktionen und in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner.
Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.
Die binomischen Formeln lauten:
Die Normalform
Wir schauen uns die Funktion an. Diese Funktionsgleichung liegt in der Normalform vor. In dieser Form kann der -Achsenabschnitt direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter .
Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform.
Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.
Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalform auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von verändert.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalform auf (im Heft).
a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
Setze die Punkte und in die allgemeine Gleichung ein:
Setze den erhaltenen Wert für in die ersten beiden Gleichungen ein:
Einsetzungsverfahren:
Stelle eine der beiden Gleichungen, z.B. die zweite, nach einer Variable um, z.B. nach :
Setze nun in der anderen Gleichung für ein und stelle nach um:
Setze nun den Wert für in eine der Gleichungen ein, z.B. in , und stelle nach um:
Somit ergibt sich: .
(du könntest natürlich auch das Gleichsetzungsverfahren nutzen, oder das LGS mit dem Additionsverfahren lösen)b)* Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
Setze die Punkte und in die allgemeine Gleichung ein:
Subtrahiere nun die Gleichungen und :
Subtrahiere nun die Gleichungen und :
Bringe den Vorfaktor von der beiden erhaltenen Gleichungen auf den selben Wert, z.B. auf , indem du die erste Gleichung mit und die zweite mit multiplizierst:
Subtrahiere nun die Gleichungen und und stelle nach um:
Setze nun in eine der Gleichungen ohne ein, z.B. in :
Setze nun und in eine der Gleichungen mit ein, z.B. in :
- Die allgemeine Normalform lautet .
- Der Parameter ist der -Achsenabschnitt.
- Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
- Ist wird die Funktion gestreckt, ist wird die Funktion gestaucht.
- Ist positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist negativ so ist sie nach unten geöffnet.
- Wenn man den Streckungsfaktor zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten). Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls negativ ist.
- Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form . Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für und ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren.
- Man gelangt von der Normalform () zur Scheitelpunktform () mittels Quadratischer Ergänzung.
- Man gelangt von der Scheitelpunktform () zur Normalform () durch Ausmultiplizieren der Klammer.
Nullstellen
Eine Parabel kann entweder oder keine Nullstellen besitzen.
- Sie hat Nullstellen, falls:
- sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen -Wert (kleiner als ) hat.
- sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven -Wert (größer als ) hat.
- Sie hat Nullstelle, falls ihr Scheitelpunkt den -Wert hat (also die -Achse berührt).
- Sie hat keine Nullstellen, falls:
- sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven -Wert (größer als ) hat.
- sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen -Wert (kleiner als ) hat.
Verändere die Parabel mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Nullstellen und . Wann sind sie unterschiedlich, wann gleich und wann nicht vorhanden?
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Im folgenden Abschnitt werden die verschiedenen Methoden zur Nullstellenberechnung wiederholt.
Gegeben sei eine Gleichung der Form , z.B. .
Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Wurzelziehen erfüllt: Es gibt keinen Term der Form .
Nun muss noch umgeformt werden:
Als Beispiel:
Gegeben sei eine Gleichung der Form , z.B. .
Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Ausklammern erfüllt: Es gibt keinen Term der Form , also keine Zahl ohne ein .
Nun muss noch umgeformt werden:
Als Beispiel:
Gegeben sei eine Gleichung der Form , z.B. .
Bei dieser Form muss man entweder die p-q Formel (oder quadratische Ergänzung) anwenden.
Es muss umgeformt werden:
Als Beispiel:
Ordne die Gleichungen der Methode zu, mit der man die Nullstellen am schnellsten berechnen kann.
Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode.
a)
b)
c)
Da hier kein Term der Form vorkommt, kann die Methode Wurzelziehen angewandt werden:
Da hier kein Term der Form vorkommt, also keine Zahl ohne ein , kann die Methode Ausklammern angewandt werden:
Da hier alle Termformen () vorhanden sind muss die -Formel angewandt werden:
Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörigen Nullstellen zu. Berechne diese dafür in deinem Heft.
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu . Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
a) Wie weit fliegt der Ball? Überlege dir dafür wo der Ball geschlagen wird und wo er aufkommt.
Setze die Funktion : .
Um diese Gleichung zu lösen muss die Formel verwendet werden.
b) In einer Entfernung von Metern steht ein Meter großer Spieler. Dieser kann einen Ball aus ca. Metern Höhe fangen. Würde es ihm gelingen den Ball mit der obigen Flugkurve zu fangen?
Gesucht ist die Höhe des Balls nach Metern. Daher setzten wir die für ein, da der -Wert ja die horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt angibt:
Anwendungsaufgaben
Bei den Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen handelt es sich in der Regel um eine Optimierungsaufgabe oder um das Lösen eines Sachzusammenhanges.
Bei Optimierungsaufgaben wird in der Regel danach gefragt unter welchen Bedingungen ein Wert maximal oder minimal wird. Da eine quadratische Funktion als Funktionsgraphen eine Parabel darstellt, ist der höchste (bei negativer Steigung ) bzw. tiefste (bei positiver Steigung ) Punkt der Scheitelpunkt. Hier ist der -Wert der Funktion also maximal oder minimal. Dementsprechend muss die -Achse den Wert beschreiben der maximal oder minimal werden soll.
Ist zum Beispiel bei einer vorgegebenen Länge () Zaun der maximale Flächeninhalt gesucht, so muss auf der -Achse der Flächeninhalt eingetragen werden.
Die -Achse muss dabei eine der Bedingungen beschreiben, die man verändern darf.
Zum Beispiel die Länge von einer Seite, diese setzt man dann als Variable .
Vorgehen:
- Schreibe dir auf was gesucht ist.
- z.B. maximaler Flächeninhalt.
- Schreibe dir auf was gegeben ist.
- z.B. Zaun zum einzäunen eines Rechtecks.
- Notiere dir Formeln die du zu den gegebenen Größen weißt.
- Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen brauche ich die Formel: .
- Da ich Zaun zur Verfügung habe, hat der Umfang meines Rechtecks den Wert , also: .
- Mache dir klar welcher Wert der ist, welcher in der quadratischen Funktion auf der -Achse eingetragen sein muss.
- Da der Flächeninhalt maximiert werden soll gehört dieser auf die -Achse. Da der -Wert vom -Wert abhängt schreiben wir .
- Entscheide dich welche Bedingung du als setzen möchtest und stelle die andere Bedingung in Abhängigkeit von dar.
- Wir können uns zwischen und entscheiden. Wir setzen als Variable , also . Da uns das hier noch stört, müssen wir diese in Abhängigkeit von schreiben indem wir die zweite Formel umformen:
Nun können wir in ersetzten:
- Wir können uns zwischen und entscheiden. Wir setzen als Variable , also . Da uns das hier noch stört, müssen wir diese in Abhängigkeit von schreiben indem wir die zweite Formel umformen:
- Forme in die Scheitelpunktform um.
- Lese den Scheitelpunkt ab und interpretiere ihn.
- Der Scheitelpunkt liegt bei . Der -Wert gibt den Flächeninhalt an, weswegen der maximale Flächeninhalt ist. Dieser wird erreicht bei , also wenn die Seitenlänge von beträgt. Da
gelten muss erhalten wir durch umformen für eine Länge von .
- Der Scheitelpunkt liegt bei . Der -Wert gibt den Flächeninhalt an, weswegen der maximale Flächeninhalt ist. Dieser wird erreicht bei , also wenn die Seitenlänge von beträgt. Da
Lina wollte schon immer ein Gemüsebeet in ihrem Garten haben. Da sie viel Wert auf das Aussehen legt hat sie sich als Zaun für einen Staketenzaun entschieden. Da dieser allerdings sehr teuer ist hat sie davon nur Meter gekauft.
a) Wie groß kann ihr Beet maximal werden?
Der maximale Flächeninhalt ist gesucht und du brauchst die Formeln:
Gesucht ist der maximale Flächeninhalt bei Umfang. Wie haben also die Formeln:
Auf der -Achse muss nachher der Flächeninhalt eingetragen sein, da wir von diesem das Maximum suchen. Wie müssen also eine quadratische Funktion der Form aufstellen. Unsere Variablen sind dabei und . Wir formen nun die Umfangsformel nach einer der beiden Variablen um, zum Beispiel nach :
Den Wert den wir nun für erhalten haben können wir in die Formel für den Flächeninhalt einsetzten. Wir können uns entscheiden ob wir als setzten oder einfach schreiben:
b)* Um ihr Beet etwas größer zu bekommen möchte sie eine Wand des Gartenhäuschen mit einbauen, so spart sie immerhin Meter Zaun. Sie hat gelesen, dass man für sechs verschiedene Gemüsesorten mindestens ein Beet von haben sollte. Kann Lina sechs verschiedene Gemüsesorten anbauen?
Gesucht ist der maximale Flächeninhalt bei Umfang und dem einbauen einer langen Mauer. Wie haben also die Formeln:
Wir haben hier also lediglich den Unterschied, dass wir einen Umfang von statt haben:
Einsetzten:
c)** Robin möchte Lina gerne helfen und für sie ein Frühbeet bauen, in welchem sie ihre Pflanzen heranzüchten kann. Dafür will er eine rechteckige Box bauen. Diese soll sowohl nach oben und nach unten geöffnet sein, es geht also nur um die Wände. Insgesamt hat Robin Holz gekauft. Die Höhe der Box soll betragen. Robin möchte wissen wie er die anderen Seitenlängen wählen muss, um das maximale Volumen zu erhalten. (Du kannst annehmen, dass er keinen Verschnitt hat und die ohne Verluste verbauen kann.)
Du brauchst die Formeln:
Gesucht ist also das maximale Volumen bei einer Mantelfläche von und einer Höhe von . Wir brauchen daher die Formeln:
Da wir den Flächeninhalt und die Höhe gegeben haben können wir diese Werte jeweils einsetzten:
Als nächste müssen wir wie gewohnt umformen. Da diesmal das Volumen maximiert werden soll und wir als zusätzliche Formel den Flächeninhalt haben, müssen wir hier die Formel für den Flächeninhalt nach einer Variable umformen, z.b. nach :
Diesen Wert setzen wir nun für in die Volumenformel ein:
Somit haben wir nun eine Formel für das Volumen. Da dieses maximal werden soll müssen wir den Scheitelpunkt bestimmen:
Laura und Paul möchten zusammen einen Pizzaladen eröffnen. Vorher möchten sie die Produktion kalkulieren. Pro Tag können sie mit Miete, Stromkosten, Wasserkosten, etc. mit rund € rechnen. Pro Pizza entstehen durch Material- und Lohnkosten nochmal rund €. Zusätzlich entstehen für die Produktion von Pizzen nochmals €. Pro Pizza möchten sie € nehmen. Zusätzlich müssen sie % von ihrem Gewinn versteuern. Bei welcher Tagesanzahl von Pizzen wäre der verdienst maximal und wie hoch wäre dieser?
Da nur die Stückzahl der Pizzen variiert werden kann, setzen wir diese als unser . Wir bringen nun alle Informationen in einer Gleichung zusammen:
Wir haben nun also unsere Funktion gefunden. Diese können wir nun vereinfachen und da wieder das Maximum gesucht ist den Scheitelpunkt bestimmen:
Bei Sachzusammenhangsaufagben wird in der Regel nach dem Wert einer bestimmten Variable gefragt. Diese Variable hat dabei einen Einfluss auf die gegebenen Größen. So ist zum Beispiel oft nach einem bestimmten Zinssatz gefragt, den man anhand von gegebenen Kontoständen ermitteln soll. Dafür muss man wissen in welcher Weise die gegebenen Größen von der Variablen abhängen.
Ist zum Beispiel der Kontostand zu Ende eines Jahres von Euro gegeben, werden dann die Jahreszinsen hinzugefügt, nochmal Euro abgebucht und Anfang des Jahres darauf die Jahreszinsen nochmals ergänzt und dann der Kontostand Euro gegeben, so ist in der Regel der Zinssatz gesucht.
Hier ist in der Regel die gesuchte Variable die, welche man in der quadratischen Funktion als das setzt. Meistens stellt man durch die Bedingungen direkt eine Gleichung auf, welche man dann lösen muss (Nullstellenberechnung).
Hier wäre also unser unser .
Vorgehen:
- Schreibe dir auf was gesucht ist.
- z.B. Zinssatz.
- Schreibe dir auf was gegeben ist.
- z.B. Euro Ende .
- kommen Zinsen drauf und Euro werden abgezogen
- Anfang kommen nochmal Zinsen drauf und man erhält €
- Notiere dir Formeln die du zu den gegebenen Größen weißt.
- Der Kontostand mit den Jahreszinsen berechnet man durch . (Wir behalten ja unseren Kontostand von Euro und bekommen Euro noch zusätzlich, also ).
- Bringe alle Größen in einer Formel unter.
- Löse die erhaltene Gleichung.
- Interpretiere die Nullstellen im Sachzusammenhang und wähle die passende aus.
- Da Geld hinzugefügt und nicht abgezogen wird macht ein negativer Wert keinen Sinn, demnach ist unser gesuchter Zinssatz . Als Prozentzahl also %.
Sören (14 Jahre alt) möchte sich mit 16 einen Roller kaufen um unabhängiger zu sein. Er hat bereits durch Geburtstage und Minijobs € gespart. Die meisten Roller kosten um die €.
a) Er möchte nicht länger alles Geld beiseite legen müssen und überlegt, ob er das Geld einfach auf die Bank bringen könnte und durch die Zinsen in Jahren sein Geld zusammen hätte. Wie hoch müsste dafür der Zinssatz sein?
Bringe die gegebenen Informationen in einer Gleichung unter:
Löse die Gleichung:
b)* Sören bringt sein Geld auf die Bank. Nach dem ersten Jahr Zinsen geht sein Handy kaputt und er muss von seinem ersparten € abheben. Nachdem er ein weiteres mal Zinsen erhält, bekommt er von seinen Eltern zum Geburtstag einen Zuschuss von €. Den Roller kann er sich jetzt genau leisten. Wie hoch war der Zinssatz der Bank?
Bringe die gegebenen Infos in eine Gleichung:
Löse die Gleichung:
Katrin arbeitet in einem Gartenbaubetrieb. Sie soll eine rechteckige Fläche gestalten mit den Seitenlängen und . Am inneren Rand des Rechteckes soll ein Weg verlaufen, der immer gleich breit bleibt und insgesamt die Hälfte der Fläche einnimmt. Wie breit muss der Weg dafür sein?
Wir wissen, dass wir insgesamt Fläche zur Verfügung haben, wovon der Weg und das Beet jeweils die Hälfte einnehmen sollen. Seien und die Seitenlängen des Beetes und die Breite des Weges, dann ergibt sich:
ist somit unsere Gleichung die wir lösen müssen: