Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bevor wir mit der eigentlichen Wahrscheinlichkeitsrechnung beginnen, sollen an dieser Stelle noch einmal die wesentlichen Grundbegriffe wiederholt werden. Die Fachbegriffe, die dir auf dieser Seite begegnen, stellen eine unverzichtbare Grundlage für die weitere Auseinandersetzung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar. Zur Veranschaulichung der Begriffe wird jeweils ein klassischer Spielwürfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 zur Rate gezogen.

Aufgabe 1

Folgende Begriffe spielen im Text auf dieser Seite eine wesentliche Rolle:

Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge, Gegenereignis, Laplace-Experiment

Nimm dir einen Moment Zeit und überlege, was sie bedeuten. Mache dir auf einem Schmierzettel Notizen.

Überlege zunächst selbst, bevor du weiter liest!

Aufgabe 2

Erstelle, nachdem du die Inhalte auf dieser Seite durchgearbeitet hast, ein Produkt, in dem die wesentlichen Informationen zusammengefasst werden. Dabei kann es sich um einen Text in deinen eigenen Worten handeln, eine Concept-Map, ein kurzes Erklärvideo oder etwas ganz anderes.

Ergebnisse und Ergebnismenge

Definition

Jeder mögliche Ausgang beim Durchführen eines Zufallsexperiments wird als Ergebnis $\omega_i$ bezeichnet.

Die Ergebnismenge $\Omega$ („Omega”) enthält alle Ergebnisse des Zufallsexperiments.

Beim einmaligen Werfen des Spielwürfels kann jede der Augenzahlen 1 bis 6 fallen. Die Ergebnisse des Experiments sind also $\omega_1=1$ , $\omega_2=2$ , $\omega_3=3$ , $\omega_4=4$ , $\omega_5=5$ und $\omega_6=6$. Fassen wir diese sechs Ergebnisse zu eine Menge zusammen, erhalten wir die Ergebnismenge: $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$.

Info

Ergebnisse müssen nicht immer durch Zahlen dargestellt werden. Beim Werfen einer Münze werden die möglichen Ausgänge in der Regel durch die Ergebnisse $\omega_1=K$ für Kopf und $\omega_2=Z$ für Zahl beschrieben.

Laplace-Experimente

Bei einem fairen Spielwürfel kann jede Seite mit derselben Wahrscheinlichkeit fallen. Zufallsexperimente, denen dieses Phänomen zugrunde liegt, werden als Laplace-Experimente bezeichnet.

Definition

Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, heißt Laplace-Experiment

Beim fairen Würfel wird schnell klar, dass die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse $\frac{1}{6}$ betragen muss. Es gibt schließlich sechs verschiedene Ergebnisse, auf die die Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 bzw. 100% aufgeteilt werden muss. Dies lässt sich für beliebige Laplace-Experimente verallgemeinern.

Info

Für die Wahrscheinlichkeit $P(\omega_i)$ jedes Ergebnisses bei einem Laplace-Experiment gilt: $P(\omega_i)=\frac{1}{|\Omega|}$.

$|\Omega|$ steht dabei für die Mächtigkeit der Ergebnismenge, also die Anzahl ihrer Elemente.

Ereignisse

Häufig interessieren bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse gleichzeitig. Stell dir vor, beim Spiel Mensch-ärgere-dich-nicht steht deine Figur direkt vor den vier Ziel-Feldern, auf denen sich noch keine Spielfiguren befinden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du die Figur mit dem nächsten Wurf ins Ziel setzen kannst? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir das Ereignis, das dazu führt, dass die Figur weiter gesetzt werden kann.

Definition

Einzelne Ergebnisse lassen sich beliebig zu Ereignissen zusammenfassen. Jedes Ereignis stellt dabei eine Teilmenge der Ergebnismenge dar.

Damit du die Figur ins Ziel setzen kannst, darf jede der Augenzahlen von 1 bis vier fallen, nicht aber die 5 oder die 6. Das Ereignis $E:$ Die Figur kann mit dem nächsten Wurf ins Ziel gesetzt werden. lässt sich also durch die Menge $E=\{1;2;3;4\}$ beschreiben.

Info

Bei einem Laplace-Experiment kann die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses $E$ folgendermaßen berechnet werden:

$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$

Im Fall der beschriebenen Situation besteht das Ereignis $E$ aus 4 Ergebnissen, während die Ergebnismenge $\Omega$ aus insgesamt 6 Ergebnissen besteht. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, die Spielfigur mit dem nächsten Zug ins Ziel setzen zu können, gilt also:

$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Die Spielfigur kann also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 67 % ins Ziel gesetzt werden. Dies liefert uns automatisch auch eine Information über das Gegenereignis $\bar{E}:$ Die Figur kann mit dem nächsten Wurf nicht ins Ziel gesetzt werden.

Definition

Das Gegenereignis $\bar{E}$ zum Ereignis $E$ besteht aus genau den Elementen der Ergebnismenge, die nicht zum Ereignis $E$ gehören.

Info

Für die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und des zugehörigen Gegenereignisses gilt:

$P(\bar{E})=1-P(E)$ bzw.

$P(E)=1-P(\bar{E})$.

Im Zusammenhang mit der beschriebenen Situation beim Mensch-ärgere-dich-nicht gilt also für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Figur mit dem nächsten Wurf nicht ins Ziel gesetzt werden kann:

$P(\bar{E})=1-P(E)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

Zugegeben, in diesem Beispiel hätte die Gegenwahrscheinlichkeit genauso schnell über die oben angegebene Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden können. Bei sehr vielen (besonders bei mehrstufigen) Zufallsexperimenten liefert die Betrachtung eines Gegenereignisses jedoch eine schnelle Alternative zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit.

Vielleicht fällt dir für die Dokumentation der Inhalte, die du auf dieser Seite wiederholt hast, selbst ein solches Experiment ein? Aufgabe 2 (s.o.) nicht vergessen!