Grenzwerte spezieller Funktionen

Lernpfad

Willkommen beim Lernpfad zur Bestimmung der Grenzwerte der bisher bekannten Funktionstypen

In der aktuellen Unterrichtseinheit geht es um die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. In diesem Lernpfad sollst du selbständig das Verhalten der bisher bekannten Funktionen (Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen) für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte untersuchen und festhalten.

Voraussetzungen

• Du kennst die Grundform sowie die wichtigsten Eigenschaften der folgenden Funktionen und kannst ihren Verlauf beschreiben und skizzieren: Exponentialfunktion, Sinusfunktion, ganzrationale Funktion, gebrochenrationale Funktion.

• Du weißt, was der Grenzwert einer Funktion ist und kennst die Schreibweise: $\lim_{x\to\infty} f(x)$
• Die Begriffe Konvergenz und Divergenz sind dir geläufig und du erkennst am Verlauf eines Graphen, wann das Jeweilige vorliegt.

Ziele

• Du kannst das Verhalten der Grundformen der Funktionen für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte beschreiben und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.

• Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen.

Hinweise zur Bearbeitung

• Behandle die Aufgaben der Reihe nach.

• Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft.

• Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

Exponentialfunktionen

Verhalten im Unendlichen der Grundform $f(x)=a^{x}$, a>0

Verhalten im Unendlichen

Untersuche die Funktion $f(x)=a^{x}$ mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen.

a) Welche zwei Fälle müssen für a unterschieden werden?

b) Gib die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)$ in Abhängigkeit von a an.

Lösung anzeigen

a) Fall1: a>1, Fall2: 0<a<1

b)

• a > 1: $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$
• 0 < a < 1: $\Rightarrow$ $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

Verhalten im Unendlichen der Form $f(x)=b\cdot a^{x}+d$, mit $b, d\in \mathbb{R}$

Verhalten im Unendlichen

Untersuche die Funktionen $f(x)=b\cdot2,5^{x}+d$ und $f(x)=b\cdot0,3^{x}+d$ mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen.

a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen?

b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen?

c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen? Begründe!

Lösung anzeigen

a) Ein negatives Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.

b) Je nach Vorzeichen von d wird der Graph noch oben (d>0) oder nach unten (d<0) verschoben.

c) b hat keinen Einfluss auf die waagrechte Asymptote, denn das Grenzwertverhalten ist nur vom Faktor $a^{x}$ abhängig.

Es gilt für die waagrechte Asymptote $y = d$, denn $\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} = 0$ also $\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} +d = 0 + d = d$, a > 1 (Analog für 0< a < 1)

Aufgaben

Bestimme die Grenzwerte

1. Gib die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)$ der folgenden Funktionen an.

a) $f(x)=0,7^x$

b) $f(x)=7^x$

c) $f(x)=5\cdot 0,3^x$

d) $f(x)=-0,5^x$

e) $f(x)=-2\cdot 0,7^x$

f) $f(x)=4,1^x+1$

g) $f(x)=0,4^x-3$

h) $f(x)=5-1,5\cdot 3^x$

Lösung anzeigen

a) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

b) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$

c) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

d) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

e) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

f) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=1$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$

g) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=-3$

h) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=5$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty$

Ganzrationale Funktionen

Grenzverhalten Ganzrationaler Funktionen

a) In dem Lernpfad Eigenschaften ganzrationaler Funktionen wurde das Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen bereits untersucht. Wiederhole noch einmal die Erkenntnisse zum Grenzwertverhalten..

b) Übersetze die Ergebnisse in die mathematische Schreibweise.

Lösung anzeigen

Datei: Lösung AB.pdf In Abhängigkeit des Summanden mit der höchsten Potenz gilt $\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\pm \infty$, sie sind also in beide Richtungen bestimmt divergent.

Trigonometrische Funktionen

Grenzverhalten Trigonometrischer Funktionen

Betrachte die Verläufe der beiden trigonometrischen Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx.

a) Welches Grenzwertverhalten weisen die beiden Funktionen auf?

a) Haben Veränderungen der Parameter einen Einfluss auf das Grenzwertverhalten?

Lösung anzeigen

a) Sie sind in beide Richtungen unbestimmt divergent.

b) Nein!

Übungsaufgaben

Grenzwerte

1. Bestimme die Grenzwerte für $x\rightarrow \pm \infty$ der folgenden Funktionen und begründe deine Antwort.

a) $f(x) = 1 + 0,5^{-x}$

b) $g(x)=\frac{1}{x^{3}} - 3$

c) $h(x)=(x+3)^{4}-1$

d) $f(x)=0,7^{x}-\frac{7}{x}$

e) $f(x)=2cos(x-3)$

f) $g(x)=4^{x} + 4^{-x}$

g) $g(x)=4^{x} - 4^{-x}$

Bestimme die Funktionsterme

2. Ordne zu!

y = 3-2,5^xy = 0,3^x-2y =-2x³+3x+1y = [x²+1]/[2x]y = [x-1]/[x-1,5]y = [3-x]⁴y = sin[4x]+1

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Vertiefende Aufgaben

Grenzwerte bestimmen

3. Untersuche die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}cosx$ mit Geogebra.

a) Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe einer Zeichnung.

b) Begründe deine Ergebnisse unabhängig von der Zeichnung.

c) Wie verändern sich die Ergebnisse für $f(x)=\cos(\frac{1}{x})$? Begründe.

Lösung anzeigen

a) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

b) f(x) ist das Produkt der Funktionen $g(x)=\frac{1}{x}$ und $h(x)=sinx$. Es gilt $\lim_{x\to-\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=0$, h(x) liegt immer zwischen -1 und 1. Daher konvergiert das Produkt aus beiden Funktion für $x\rightarrow \infty$ gegen 0.

c) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=1$, denn $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0$ und $cos(0)=1$.

Grenzwerte bestimmen

4. Untersuche die Funktionen $f(x)=\frac{1}{x}2^{x}$ und $g(x)=x2^{x}$.

a) Bestimme die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ und $\lim_{x\to\infty} g(x)$

b) In welchen Fällen ist eine korrekte Begründug schwierig? Was ist die Ursache?

Lösung anzeigen

a) f(x): $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$ und $\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0$. Daher gilt $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0\cdot0=0$

g(x): $\lim_{x\to\infty}x=\infty$ und $\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty$. Daher gilt $\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\cdot\infty=\infty$

b) f(x): $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ und $\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty$. Damit gilt $\lim_{x\to\infty} f(x)=0\cdot\infty=\infty$  !???

g(x): $\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ und $\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0$. Damit gilt $\lim_{x\to-\infty} g(x)= -\infty\cdot0=0$  !???

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