Bauwerke des Menschen

Die Pyramiden von Gizeh

Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris

Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe (Grabmal des Stadtgründers Karl Wilhelm von Baden-Durlach und das Wahrzeichen der Stadt)

Eigenschaften einer Pyramide

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Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Die Anzahl der Seitenflächen ist gleich der Anzahl der Ecken!
Hier siehst du drei Beispiele von Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen:

Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.

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Volumen der Pyramide

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide

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Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Pyramide aufgestellt. Im Experiment hast du allerdings das Ergebnis nur für die verwendete Pyramide überprüfen können.

Im Folgenden muss nun gezeigt werden, dass die von dir gefundene Volumenformel tatsächlich gilt und zwar nicht nur für eine bestimmte Pyramide, sondern für alle Arten von Pyramiden!

Dazu geht man schrittweise vor:
Zunächst leitet man die Volumenformel für eine spezielle Pyramide her und zeigt anschließend, dass dies auch für andere Pyramiden gilt.

Herleitung der Volumenformel für eine spezielle Pyramide

Schaue dir zunächst im folgenden Geogebra-Applet an, wie man einen Würfel in sechs gleiche, senkrechte Pyramiden zerlegt. Bearbeite anschließend die Aufgabe 4 (unten).

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Es wird deutlich, dass alle sechs Pyramiden die gleiche quadratische Grundfläche, die gleiche Höhe und die gleiche Spitze besitzen.
Die Spitze der Pyramiden ist genau die Mitte des Würfel-Inneren.

Für das Volumen des Würfels mit Kantenlänge a gilt: $V_{w}=$ $a^{3}$

Da der Würfel in sechs kongruente Pyramiden aufgeteilt wurde, folgt für das Volumen der Pyramide 1:
$V_{p}=$ $\frac{1} {6}\cdot a^{3}$

Außerdem ist die Grundfläche der Pyramide $G=$ $a^{2}$ und die Höhe $h=$ $\frac{1} {2}$ $\cdot$ $a$ .
Damit lässt sich das Pyramidenvolumen auch als ein Vielfaches des Produktes von Grundfläche und Höhe schreiben:
$V_{p}=\frac{1} {6}a^{3}=$ $\frac{1} {3}a^{2}$ $\cdot$ $\frac{1} {2} a$ = $\frac{1} {3}G\cdot h$

Weiteres Beispiel:

Man kann einen Würfel auch in drei kongruente, schiefe Pyramiden zerlegen (s. Fotos). Dauraus folgt für das Volumen einer der Pyramiden ebenfalls $V=\frac{1} {3} G\cdot h$ .
Die Spitzen der Pyramiden zeigen alle in die gleiche Ecke des Würfels.

Du kannst dir das Modell, welches auch auf den Fotos abgebildet ist, vorne am Pult anschauen.

Von der speziellen zur allgemeinen Pyramide

Du hast die Gültigkeit der Formel $V=\frac{1} {3} G\cdot h$ nun für eine quadratische Pyramide mit $h=\frac{1} {2}a$ gezeigt, als auch im Modell für eine quadratische Pyramide mit $h=a$ überprüfen können.
Jetzt muss gezeigt werden, dass diese Formel auch für das Volumen einer beliebigen n-seitigen Pyramide gilt. Dazu muss folgender Satz bewiesen werden:

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Das klingt stark nach dem Satz von Cavalieri! Allerdings fehlt hierzu noch ein Kriterium. Nach Cavalieri sind zwei Körper volumengleich, wenn der Grundflächeninhalt und die Höhe gleich sind, als auch alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. Es muss also gezeigt werden, dass Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auf jeder Höhe (parallel zur Grundfläche) gleich große Schnittflächen besitzen!

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Beweis:
Versuche erst einmal selbst einen Beweis zu führen! Falls du nicht weiter kommst, nutze zuerst die Tipps und versuche es nochmal, bevor du dir die Lösung anschaust!

Tipp (1): Vorlage:Tipp versteckt

Tipp (2):Vorlage:Tipp versteckt

Voraussetzung: G₁ = G₂

S₁ und S₂ sind Streckzentren einer zentrischen Streckung von G₁ auf G₁' bzw. von G₂ auf G₂'. Der Streckfaktor ist jeweils $k=\frac{h_{s}} {h}$ .
G₁ ist also ähnlich zu G₁' und G₂ ist ähnlich zu G₂'.
$\Rightarrow$ G₁' = k²G₁ und G₂' = k²G₂

Da nach Voraussetzung G₁ = G₂

\Rightarrow

G₁' = G₂'

Nun bist du endlich am Ziel und du kannst eine allgemeine Formel zur Berechnung des Pyramidenvolumens aufstellen, welche auch wirklich für jede beliebige Pyramide gilt!

Übungsaufgaben zur Berechnung des Pyramidenvolumens

Zur Berechnung des Pyramidenvolumens benötigt man die Maße der Pyramidengrundfläche und der Höhe. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden. Bei der Berechnung muss man mit sogenannten Hilfsdreiecken arbeiten. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann einfach durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!

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Ausführliche Lösung zu Aufgabe 6

Mantelfläche und Mantelflächeninhalt

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Oberfläche und Oberflächeninhalt

Körpernetz einer Pyramide

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das Netz der Pyramide.
Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- und Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!
Das folgende Beispiel zeigt ein Körpernetz einer quadratischen Pyramide, welche entlang zweier Seiten- und zweier Grundkanten aufgeschnitten wurde: