Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Wertetabellen und das Lösen von Gleichungen

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5 Wertetabelle

table(f, u?, v?, w?) gibt zu der Funktion f eine Wertetabelle mit Wertepaaren [x; f(x)] für x-Werte aus dem Intervall [u; v] aus. Dabei gibt w die Schrittweite der x-Werte an. Wenn die optionalen Parameter u, v und w weggelassen werden, gelten für sie die folgenden Vorgabewerte u=-10, v=10 und w=1.

Beispiel 5.1 Wertetabelle für $f(x)=x^2$

Gib für die Funktion $f(x)=x^2$ eine Wertetabelle für die x-Werte aus dem Intervall [-2; 3] mit der Schrittweite 1 aus.

Eingabe: f(x):=x^2

Ausgabe: (x: any) → x^2

Eingabe: table(f; -2; 3; 1)

Ausgabe: [[-2; 4]; [-1; 1]; [0; 0]; [1; 1]; [2; 4]; [3; 9]]

oder kurz:

Eingabe: table(x->x^2; -2; 3)

Ausgabe: [[-2; 4]; [-1; 1]; [0; 0]; [1; 1]; [2; 4]; [3; 9]]

6 Gleichung mit einer Unbekannten lösen

nsolve(u; v?; w?) Bestimmt alle Lösungen der Gleichung u im Intervall [v; w]. Werden die Untergrenze v und die Obergrenze w nicht angegeben, werden die Lösungen im Intervall [-20; 20] bestimmt.

Der Variablen, nach der die Gleichung u aufgelöst werden soll, darf vorher noch nicht mit := ein Wert zugewiesen worden sein. Gegebenenfalls Definitionen löschen.

6.1 Lineare Gleichung ohne Intervallangabe lösen

Beispiel 6.1.1 Berechne die Lösungen der Gleichung

3x -5 = x +7 im Intervall [-20; 20].

Eingabe: nsolve(3*x -5 = x +7)

Ausgabe: [6]

6.2 Quadratischen Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.2.1 Berechne die Lösungen der Gleichung

2x^2 +4x -30 =0 im Intervall [-20; 20].

Eingabe: nsolve(2*x^2 +4*x -30 =0)

Ausgabe: [-5; 3]

Es gibt die Lösungen: x_1 = -5 und x_2 =3

Beispiel 6.2.2 Berechne die Lösungen der Gleichung

x^2 -x +0,25 =0 im Intervall [-20; 20].

Eingabe: nsolve(x^2 -x +0,25 =0)

Ausgabe: [0,5] Es gibt nur eine Lösung: x = 0,5

Beispiel 6.2.3 Berechne die Lösungen der Gleichung

x^2 =-4 im Intervall [-20; 20].

Eingabe: nsolve(x^2 =-4)

Ausgabe: [] Es gibt keine Lösung (leere Lösungsmenge).

6.3 Kubische Gleichung ohne Intervallangabe

Beispiel 6.3.1 Berechne die Lösungen der Gleichung

x^3 +x^2 -17x +15 =0 im Intervall [-20; 20].

Eingabe: nsolve(x^3 +x^2 -17*x +15 =0)

Ausgabe: [-5; 1; 3]

6.4 Lösen einer Gleichung mit Intervallangabe

Beispiel 6.4.1 Berechne die Lösungen der Gleichung x -1 = 20 mit nsolve zunächst ohne explizite Intervallangabe.

Eingabe: nsolve(x-1 = 20)

Ausgabe: []

Die Lösung x=21 liegt außerhalb des Standardintervalls [-20; 20]. Daher wird hier die leere Menge als Lösungsmenge angezeigt.

Beispiel 6.4.2 Berechne die Lösungen der Gleichung

x -1=20 im Intervall [0; 30].

Eingabe: nsolve(x -1 =20; 0; 30)

Ausgabe: [21]

Die Lösung x=21 liegt jetzt innerhalb des angegebenen Intervalls [0; 30]

6.5 Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0; 7]

Beispiel 6.5.1 Berechne die Nullstellen der Standard-Sinus-Funktion sin(x) im Intervall [0; 7].

Eingabe: nsolve(sin(x)=0; 0; 7)

Ausgabe: [0; 3,14159; 6,28319] Nullstellen 0, \pi und 2\pi (bei Einstellung Winkelmaß=Bogenmaß)

6.6 Nullstellen einer Exponentialfunktion

Beispiel 6.6.1 Berechne die Nullstellen der Funktion

f(x) = (x^2 -2x)*e^{0,5 x} im Intervall

[-20; 20].

Eingabe: nsolve((x^2 -2*x)*e^(0,5*x)=0)

Ausgabe: [0; 2]

6.7 Lösungen einer Exponentialgleichung

Beispiel 6.7.1 Berechne die Lösungen der Gleichung

10 e^{0,1 t} = 50 -40 e^{-0,1 t}

im Intervall [-20; 20].

(Variable t darf noch nicht definiert worden sein!)

Eingabe: nsolve(10*e^(0,1*t) = 50-40*e^(-0,1*t))

Ausgabe: [0; 13,862944]

6.8 Nullstellen einer rationalen Funktion

Beispiel 6.8.1 Berechne die Nullstellen der Funktion

f(x) = (x+2)^2 / (x-1) im Intervall [-20; 20].

Eingabe: nsolve((x+2)^2/(x-1)=0)

Ausgabe: [-2]

7 Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen

lsolve(u; v; ...) Löst ein System von linearen Gleichungen mit den Gleichungen u, v, ... Die Anzahl der Gleichungen muss mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen.

7.1 LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Beispiel 7.1.1 Berechne die Lösungen des LGS

I: x +y =5

II: 2x -y =1

Eingabe: lsolve(x +y =5; 2*x -y =1)

Ausgabe: [x = 2; y = 3]

7.2 LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

Beispiel 7.2.1 Berechne die Lösungen des LGS

I: z +y +x =4

II: 2x +2z =y-1

III: x = z+3

Eingabe: lsolve(z +y +x =4; 2*x +2*z =y-1; x = z+3)

Ausgabe: [z = -1; y = 3; x = 2]