Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest

Beim Signifikanztest können zwei Fehlentscheidungen auftreten.
Folgende Tabelle stellt beide Fehlerarten dar.

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als $\alpha$-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signifikanzniveau $\alpha$ kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer, als das festgelegte Signifkanzniveau $\alpha$ sein.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als $\beta$-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine falsche Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht kontrollieren.

Beispiel: 71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an.
$H_0:p\leq0,71$ und $H_1:p>0,71$

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man Bernoulli-Experiment. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die Formel von Bernoulli ($P(X=k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige Verteilungsfunktion, für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise $P(X\leq k)$ üblich ist. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten werden wie folgt berechnet: $P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)$

|3=Arbeitsmethode

Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Es gibt ein Malaria- Schnelltest. Die Nullhypothese $H_0$ lautet, die gesteste Person hat kein Malaria (Test ist negativ). Die Gegenhypothese $H_1$ lautet, die Person hat Malaria (Test ist positiv).

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.

Beim Fehler 1. Art ist das Testergebnis positiv, dabei hat die Person kein Malaria.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.

Beim Fehler 2.Art fällt der Test negativ aus, dabei ist die Person an Malaria erkrankt.

Im Gericht soll überprüft werden, ob ein Angeklagter schuldig ist. Im freiheitlichen Rechtsstaat gilt die Nullhypothese $H_0$: Der Angeklagte ist unschudlig. Die Gegenhypothese $H_1$ lautet demnach, der Angeklagte ist schuldig.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.

Beim Fehler 1. Art wird ein Unschuldiger als schuldig angeklagt.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.

Beim Fehler 2.Art wird ein Schuldiger als unschuldig frei gesprochen.

Nun schauen wir uns an, wie die Fehler berechnet werden.

Merke: Berechnung Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Für die Berechnung des Fehlers 1. Art und Fehlers 2. Art, muss die tatsächliche geltende Verteilung angegeben sein. Mit dieser Verteilung berechnest du den Fehler 1. und Fehler 2. Art aus.
Beim Fehler 1. Art berechnest du die kumulierte Wahrscheinlichkeit des Verwerfungsbereichs mit der Verteilung, die tatsächlich gilt. HINWEIS: Oft gilt eine andere Verteilung, als mit der du im Signifikanztest den Annahme- und Verwerfungsbereich ermittelt hast. Wenn tatsächlich der Grenzfall der Nullhypothese die tasächliche Verteilung ist, dann ist der Fehler 1. Art gleich dem festgelegten Signifikanzniveau. FORMEL

Beim Fehler 2. Art berechnest du die kumulierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs mit der Verteilung, die tatächlichen gilt.HINWEIS: Es ist eine ander Verteilung, als mit der du im Signifikanztest den Annahme- und Verwerfungsbereich ermittelt hast.FORMEL:

Klausurtraining - Signifikanztest