Alles rund um Quadratische Funktionen
In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
Scheitelpunktform
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter ist die -Koordinate und der Parameter ist die -Koordinate des Scheitelpunkts. .
Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.
Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach rechts verschoben.
Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach links verschoben.
Ist kleiner als Null (), dann wird der Graph von nach unten verschoben.
Ist größer als Null (), dann wird der Graph von nach oben verschoben.
Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von verändert.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Gegeben seien die Funktion und die Punkte
und
.
a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte und auf dem Graphen von liegen.
b) Zeichne den Graphen der Funktion und die Punkte in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.
Betrachtet man die Funktionsgleichung , so beschreibt die Streckung (falls ) oder die Stauchung (falls ). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten).
Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (), oder nach unten falls negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für . Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)Beispiele sind:
hat ihren Scheitelpunkt bei
hat ihren Scheitelpunkt bei
Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).
Um den Parameter zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.
Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.
Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf (im Heft).
a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
Setze ein:
Setze ein:
Somit ergibt sich:
Setze ein:
Setze ein:
Somit ergibt sich:
Setze ein:
Setze ein:
Somit ergibt sich:
Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion beschreiben, wobei die Entfernung des Steins vom Ufer und die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.
a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?
b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.
Der Scheitelpunkt liegt bei . Für ist es sinnvoll den Nenner, also in einzusetzen. Somit erhält man . Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren . Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts () und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten (), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. . Das Vorgehen ist identisch: .
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der -Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der -Achse die Höhe des Steins in Meter.c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?
Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.
Also folgt und . Damit haben wir zwei Nullstellen.
- Die allgemeine Scheitelpunktform lautet .
- Der Parameter ist der -Wert des Scheitelpunktes, wobei man hier immer das Vorzeichen in der Klammer umkehren muss.
- Der Parameter ist der -Wert des Scheitelpunktes.
- ist der Scheitelpunkt der Funktion.
- Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
- Ist wird die Funktion gestreckt, ist wird die Funktion gestaucht.
- Ist positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist negativ so ist sie nach unten geöffnet.
- Wenn man den Streckungsfaktor zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten). Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls negativ ist.
- Hat man nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form . Hier kann man den Scheitelpunkt einfach einsetzen für und . Als nächstes setzt man den anderen Punkt für und ein und formt nach um.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Diese lautet
- Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu überführen benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln.
- Um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen benötigst du die Methode der quadratischen Ergänzung.
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
Somit gilt:
Sei :
- Klammere aus: .
- Teile den Vorfaktor von (also ) durch , also . Dieser Wert ist unser also .
- Wir erhalten also für unsere Klammer in der Scheitelpunktform . Da ist müssen wir in der Normalform einmal addieren und wieder subtrahieren: .
- Wir fassen die Klammer zur binomischen Formel zusammen und setzten . Somit erhalten wir . (Das Vorzeichen von wird hier nicht umgekehrt sondern so übernommen wie es berechnet wurde.)
Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
Wandle die Funktionen und in deinem Heft in die Normalenform um und die Funktionen und in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner.
Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.
Die binomischen Formeln lauten:
Die Normalenform
Wir schauen uns die Funktion an. Diese Funktionsgleichung liegt in der Normalenform vor. In dieser Form kann der -Achsenabschnitt direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter .
Ist der Parameter kleiner als Null (), dann ist der Graph der Funktion nach unten geöffnet.
Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform.
Ist größer als Null (), dann ist der Graph von nach oben geöffnet.
Ist größer als Eins () oder kleiner als minus Eins (), dann sieht der Graph von schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt zwischen minus Eins und Eins (), dann sieht der Graph von breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.
Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalenform auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von verändert.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalenform auf (im Heft).
a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten und ?
Setze ein:
Setze ein:
Setze ein:
Setze den erhaltenen Wert für in die ersten beiden Gleichungen ein:
Bringe den Vorfaktor von der beiden Gleichungen auf den selben Wert, z.B. , indem du die zweite Gleichung mit multiplizierst:
Addiere nun die Gleichungen und und stelle nach um:
Setze nun in eine der Gleichungen ein, z.B. in :
Somit ergibt sich: .
Setze ein:
Setze ein:
Setze ein:
Subtrahiere nun die Gleichungen und :
Subtrahiere nun die Gleichungen und :
Bringe den Vorfaktor von der beiden erhaltenen Gleichungen auf den selben Wert, z.B. auf , indem du die erste Gleichung mit und die zweite mit multiplizierst:
Subtrahiere nun die Gleichungen und und stelle nach um:
Setze nun in eine der Gleichungen ohne ein, z.B. in :
Setze nun und in eine der Gleichungen mit ein, z.B. in :
Somit ergibt sich: .
- Die allgemeine Normalform lautet .
- Der Parameter ist der -Achsenabschnitt.
- Der Parameter wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
- Ist wird die Funktion gestreckt, ist wird die Funktion gestaucht.
- Ist positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist negativ so ist sie nach unten geöffnet.
- Wenn man den Streckungsfaktor zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um Einheiten nach oben (falls negativ ist nach unten). Falls ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls negativ ist.
- Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form . Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für und ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem.
- Man gelangt von der Normalenform () zur Scheitelpunktform () mittels Quadratischer Ergänzung.
- Man gelangt von der Scheitelpunktform () zur Normalenform () durch Ausmultiplizieren der Klammer.
Nullstellen
Eine Parabel kann entweder oder keine Nullstellen besitzen.
- Sie hat Nullstellen, falls:
- sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen -Wert (kleiner als ) hat.
- sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven -Wert (größer als ) hat.
- Sie hat Nullstelle, falls ihr Scheitelpunkt den -Wert hat (also die -Achse berührt).
- Sie hat keine Nullstellen, falls:
- sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven -Wert (größer als ) hat.
- sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen -Wert (kleiner als ) hat.
Verändere die Parabel mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Nullstellen und . Wann sind sie unterschiedlich, wann gleich und wann nicht vorhanden?
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Im folgenden Abschnitt werden die verschiedenen Methoden zur Nullstellenberechnung wiederholt.
Gegeben sei eine Gleichung der Form , z.B. .
Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Wurzelziehen erfüllt: Es gibt keinen Term der Form .
Nun muss noch umgeformt werden:
- Wir bringen , also auf die andere Seite: , also .
- Wir teilen durch , also durch (sodass der Vorfaktor zu wird) : , also .
- Da jetzt alleine steht kann die Wurzel gezogen werden: , also .
- Beachte, dass positiv sein muss um die Wurzel ziehen zu können.
- Beachte, dass beim Wurzelziehen zwei Lösungen entstehen (mit positivem und negativem Vorzeichen).
- Wir erhalten somit und , also und .
Gegeben sei eine Gleichung der Form , z.B. .
Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Ausklammern erfüllt: Es gibt keinen Term der Form , also keine Zahl ohne ein .
Nun muss noch umgeformt werden:
- Wir teilen durch , also durch (sodass der Vorfaktor zu wird) : , also .
- Da jetzt alleine steht können wir ausklammern: , also .
- Wir haben nun ein Produkt. Dieses ist genau dann , wenn einer der beiden Faktoren ist:
- Also ist entweder oder , also .
- Wir haben nun ein Produkt. Dieses ist genau dann , wenn einer der beiden Faktoren ist:
- Wir erhalten somit und , also und .
Gegeben sei eine Gleichung der Form , z.B. .
Bei dieser Form muss man entweder die p-q Formel oder quadratische Ergänzung anwenden.
Es muss umgeformt werden:
- Wir teilen durch , also durch (sodass der Vorfaktor zu wird) : , also .
- Da jetzt alleine steht können wir in die p-q Formel einsetzten.
- Die p-q Formel lautet: .
- Das ist der Vorfaktor vor dem , daher ist , also
- Das ist die Zahl, daher ist , also
- Die p-q Formel lautet: .
- Wir erhalten somit und , also und .
Ordne zu.
Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode.
a)
b)
c)
Da hier kein Term der Form vorkommt, kann die Methode Wurzelziehen angewandt werden:
Bringe die Zahlen auf die eine Seite und das auf die andere, indem du auf beiden Seiten rechnest: .
Bringe nun die Vorfaktor von auf , indem du rechnest: .
Ziehe nun die Wurzel: v. .
Setze ein:
Setze ein:
Somit ergibt sich:
Setze ein:
Setze ein:
Somit ergibt sich:Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörigen Nullstellen zu. Berechne diese dafür in deinem Heft.
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu . Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
a) Wie weit fliegt der Ball? Überlege dir dafür wo der Ball geschlagen wird und wo er aufkommt.
Setze die Funktion : .
Um diese Gleichung zu lösen muss die Formel verwendet werden. Dafür muss der Vorfaktor von auf gebracht werden. Wir müssen also rechnen:
.
Nun kann die Formel verwendet werden: und , also:
Somit ergibt sich und .
Der Ball fliegt also ca. Meter.b) In einer Entfernung von Metern steht ein Meter großer Spieler. Dieser kann einen Ball aus ca. Metern Höhe fangen. Würde es ihm gelingen den Ball mit der obigen Flugkurve zu fangen?
Gesucht ist die Höhe des Balls nach Metern. Daher setzten wir die für ein, da der -Wert ja die horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt angibt:
Der Ball ist also nach Metern noch über Meter hoch, weswegen der Spieler, der einen Meter hohen Ball fangen kann, an diesen nicht drankommt.
Anwendungsaufgaben
Bei den Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen handelt es sich in der Regel um eine Optimierungsaufgabe oder um das Lösen eines Sachzusammenhanges.
Bei Optimierungsaufgaben wird in der Regel danach gefragt unter welchen Bedingungen ein Wert maximal oder minimal wird. Da eine quadratische Funktion als Funktionsgraphen eine Parabel darstellt, ist der höchste (bei negativer Steigung ) bzw. tiefste (bei positiver Steigung ) Punkt der Scheitelpunkt. Hier ist der -Wert der Funktion also maximal oder minimal. Dementsprechend muss die -Achse den Wert beschreiben der maximal oder minimal werden soll.
Ist zum Beispiel bei einer vorgegebenen Länge () Zaun der maximale Flächeninhalt gesucht, so muss auf der -Achse der Flächeninhalt eingetragen werden.
Die -Achse muss dabei eine der Bedingungen beschreiben, die man verändern darf.
Zum Beispiel die Länge von einer Seite, diese setzt man dann als Variable .
Vorgehen:
- Schreibe dir auf was gesucht ist.
- z.B. maximaler Flächeninhalt.
- Schreibe dir auf was gegeben ist.
- z.B. Zaun zum einzäunen eines Rechtecks.
- Notiere dir Formeln die du zu den gegebenen Größen weißt.
- Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen brauche ich die Formel: .
- Da ich Zaun zur Verfügung habe, hat der Umfang meines Rechtecks den Wert , also: .
- Mache dir klar welcher Wert der ist, welcher in der quadratischen Funktion auf der -Achse eingetragen sein muss.
- Da der Flächeninhalt maximiert werden soll gehört dieser auf die -Achse. Da der -Wert vom -Wert abhängt schreiben wir .
- Entscheide dich welche Bedingung du als setzen möchtest und stelle die andere Bedingung in Abhängigkeit von dar.
- Wir können uns zwischen und entscheiden. Wir setzen als Variable , also . Da uns das hier noch stört, müssen wir diese in Abhängigkeit von schreiben indem wir die zweite Formel umformen: . Nun können wir in ersetzten: .
- Forme in die Scheitelpunktform um.
- .
- Lese den Scheitelpunkt an und interpretiere ihn.
- Der Scheitelpunkt liegt bei . Der -Wert gibt den Flächeninhalt an, weswegen der maximale Flächeninhalt ist. Dieser wird erreicht bei , also wenn die Seitenlänge von beträgt. Da gelten muss erhalten wir durch umformen für eine Länge von .