Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Auf den folgenden Seiten wirst du dich weniger mit Glücksspielen beschäftigen. Stattdessen geht es in erste Linie um verschiedene Ereignisse bei Alltagsphänomenen, deren Wahrscheinlichkeiten häufig in einem Zusammenhang stehen.

Übermäßiger Alkoholkonsum

Im Jahr 2014 konsumierten die Deutschen, die älter als 15 Jahre waren im Schnitt ca. 11 Liter reinen Alkohol. Damit lag Deutschland leicht über dem europaweiten Durchschnitt.

Bei dieser Zahl ist es nicht verwunderlich, dass der Alkoholkonsum bei vielen Deutschen im riskanten Bereich liegt. Der Anteil der Männer, die riskante Mengen Alkohol zu sich nehmen, lag 2017 bei 18 Prozent. Bei den Frauen ist dieser Anteil mit 14 Prozent etwas geringer.

Daten in einem Baumdiagramm visualisieren

Aufgabe 1

Nach Informationen des statistischen Bundesamtes teilt sich die Bevölkerung von ca. 83 Mio. Bundesbürgern in ca. 41 Mio. Männer und 42 Mio. Frauen auf. Erstelle auf Basis dieser Zahlen und der o.g. Angaben zum übermäßigen Alkoholkonsum der Bevölkerung ein Baumdiagramm mit den Ereignissen männlich ($m$) und weiblich ($w$) in der ersten Stufe und übermäßiger Alkoholkonsum ($A$) und kein übermäßiger Alkoholkonsum ($\bar A$) in der zweiten Stufe.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähler Einwohner weiblich ist, beträgt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle P(w)=\frac{42}{83}\approx 0,506=50,6 %} , mit einer Wahrscheinlichkeit von ca Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle P(m)\approx 49,4 %} ist ein zufällig ausgewählter Bundesbürger männlich.

Vom Baumdiagramm zur Vierfeldertafel

Im folgenden Video wird erklärt, wie man aus den Daten in einem Baumdiagramm eine Vierfeldertafel erstellt und welche Informationen darin enthalten sind.

Vierfeldertafel

Bearbeite mit Hilfe des Erklärvideos die folgenden Aufgaben:

Diabetestest

„Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8% in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden an Diabetes Erkrankte mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erkannt, während 2% als Diabetiker eingestuft werden, obwohl sie es nicht sind.”

Aufgabe 2.1

Stelle die Angaben zum Diabetestest in einem Baumdiagramm dar. Verwende zur besseren Vergleichbarkeit die Formelzeichen

$D$ (Person hat Diabetes)

$\bar D$ (Person hat kein Diabetes)

$T$ (Person wird durch den Test als Diabeteker eingestuft) und

$\bar T$ (Person wird durch den Test nicht als Diabeteker eingestuft)

Verwende für die erste Stufe das Merkmal Diabeteserkrankung und für die zweite Stufe das Merkmal Testergebnis. Warum ist diese Reihenfolge bei den gegebenen Daten sinnvoll?

Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Testergebnisse davon abhängen, ob eine Diabeteserkrankung vorliegt oder nicht.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person kein Diabetiker ist und gleichzeitig durch den Test als Diabetiker eingestuft wird, beträgt 90,16 %. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person Diabetiker ist und durch den Test auch so eingestuft wird, beträgt 7,6 %.

Aufgabe 2.2

Erstelle auf Basis deines Baumdiagramms eine Vierfeldertafel zum beschriebenen Zusammenhang.

Zur Kontrolle kannst du die Werte in mit der folgenden Tabelle überprüfen:

	$D$	$\bar D$	$\sum$
$T$	7,6() %	1,84() %	9,44() %
$\bar T$	0,4() %	90,16() %	90,56() %
$\sum$	8() %	92() %	100() %

Von der Vierfeldertafel zum Baumdiagramm - bedingte Wahrscheinlichkeiten

Umgekehrtes Baumdiagramm - bedingte Wahrscheinlichkeiten

Manchmal ist es sinnvoll, die Reihenfolge der Merkmale (1. und 2. Stufe) im Baumdiagramm zu vertauschen. Wie das mithilfe einer Vierfeldertafel gelingt erfährst du durch das folgende Video. Achte beim sehen des Videos besonders darauf, was man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht!