Beschreibende Statistik/Merkmal und Merkmalsausprägungen

Beispiel Umfrage vor der Bundestagswahl 2013 Alter Partei 20 Grüne 18 CDU 37 SPD ... ...

Vor der Bundestagswahl 2013 wurden 1000 Wahlberechtigte befragt, welche Partei sie wählen möchten und wie alt sie sind. Die erhobenen Daten wurden in einer Urliste (Ausschnitt: siehe rechts) erfasst. Man bezeichnet "Alter" und "Partei" als Merkmal. Jedes Merkmal hat verschiedene Merkmalsausprägungen. Zum Beispiel hat das Merkmal "Alter" die Merkmalsausprägungen "20", "18" und "37". Das Merkmal "Partei" hat die Merkmalsausprägungen "Grüne", "CDU" und "SPD". Selbstverständlich gibt es noch jeweils weitere Merkmalausprägungen. Jeder der Befragten ist im Hinblick auf die Merkmale "Alter" und "Partei" ein Merkmalsträger.

Wie immer in der Mathematik kommt man auch hier nicht ohne mathematische Definitionen aus.

Merke

Jede in einer statistischen Erhebung untersuchte Frage heißt Merkmal.

Die einzelnen Antworten heißen Beobachtungswerte und werden getrennt nach Merkmalen in einer Urliste festgehalten. Die Beobachtungswerte werden mit $a_i$ bezeichnet.

Die Anzahl aller Beobachtungswerte $a_i$ ist gleich dem Stichprobenumfang $n$.

Zu einer Stichprobe vom Umfang $n$ gibt es in der zugehörigen Urliste die Beobachtungswerte $a_1; a_2;...;a_{n-1};a_n$.

Die verschiedenen Werte die ein Merkmal annimmt, werden Merkmalsausprägungen genannt und mit $x_i$ bezeichnet. Es kann höchstens so viele Merkmalsausprägungen geben, wie es Beobachtungswerte in der Urliste gibt. In der Regel wird die Anzahl $k$ der Merkmalsausprägungen kleiner sein als der Stichprobenumfang. Die zu einem Merkmal gehörenden Ausprägungen werden mit $x_1;x_2;...;x_{k-1};x_k$ bezeichnet.

Jedes Element der Stichprobe einer statistischen Erhebung ist ein Merkmalsträger bezogen auf die untersuchten Merkmale.

Einführungsbeispiel - Teil 3 Die erhobenen Daten werden in einer Urliste zusammengefasst. Jeder befragte Kunde ist im Hinblick auf die Merkmale „Alter“, „Geschlecht“, „Qualität der Eisdiele“, „Lieblingseis“ und „Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln“ ein Merkmalsträger. Die Anzahl $n$ der Merkmalsträger nennt man Stichprobenumfang (hier $n=30$). Die Merkmale selbst kommen in verschiedenen Ausprägungen vor:
Merkmal	Merkmalsausprägungen	Kommen alle Merkmalsausprägungen vor?
Alter	0; 1; 2;...;100	nein
Geschlecht	m, w	ja
Qualität der Eisdiele	sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend	ja
Lieblingseis	Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss	ja
Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln	1, 2, 3, 4, 5	ja
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die Beobachtungswerte $a_1=w;a_2=w;a_3=w;a_4=w;a_5=m;$ $;...;a_{29}=w;a_{30}=w$ Es gibt $n=30$ Beobachtungswerte $a_i$, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen $x_i$. Jetzt legt man (beliebig) fest: $x_1=m$ und $x_2=w$

Noch ein Beispiel

Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von $n=10$ und enthält folgende Beobachtungswerte: $18; 20; 17; 19; 16; 18; 17; 16; 20; 19$ Dann bezeichnet man die Beobachtungswerte so: $a_1=18; a_2=20; a_3=17; a_4=19; a_5=16; a_6=18; a_7=17; a_8=16; a_9=20; a_{10}=19$ Sortiert man die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" der Größe nach, so erhält man eine sortierte Urliste: $16; 16; 17; 17; 18; 18; 19; 19; 20; 20$ Aus dieser sortierten Urliste lassen sich leicht die einzelnen Merkmalsausprägungen ablesen. Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat $k=5$ Merkmalsausprägungen $16; 17; 18; 19; 20$ Man bezeichnet die Merkmalsausprägungen so: $x_1=16; x_2=17; x_3=18; x_4=19; x_5=20$ Diese mathematischen Schreibweisen werden im Folgenden noch häufiger verwendet und ist sehr nützlich, wenn es darum geht, etwas allgemein zu formulieren.