Benutzer:Cloehner/Integralrechnung/Das Integral

Du hast bereits herausgefunden, dass der Flächeninhalt unter einer Funktion in vielen Kontexten eine sinnvolle Bedeutung hat. Mit dem GeoGebra-Applet und den Aufgaben auf dieser Seite lernst du, wie man auch den Flächeninhalt unter einer krummlienig begrenzten Funktion (näherungsweise) bestimmen kann.

Ober- und Untersumme

Aufgabe 1

Lasse dir zunächst nur die Obersumme berechnen, indem du das Kontrollkästchen aktivierst. Erkunde mithilfe des Schiebereglers, was man unter der Obersumme versteht und welche Bedeutung die Zahl n hat. Wiederhole das Vorgehen mit der Untersumme.

Es handelt sich jeweils um eine Kombination von Flächen, mit denen der Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall [a ; b] näherungsweise bestimmt werden kann. Worin untercheiden sich die Ober- und die Untersumme?

Aufgabe 2

Lasse zur Funktion f auf dem Intervall [a;b] die n-te Obersumme und die n-te Untersumme berechnen, indem du die beiden Kontrollkästchen aktivierst. Verändere nun den Parameter n mit dem Schieberegler. Was stellst du fest?

Aufgabe 3

Ab welchem Wert für n ist die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner als 0,2?

Aufgabe 4

Wie groß muss n sein, damit die Ober- und die Untersumme exakt den gleichen Wert annehmen?

(Sollte das Applet fehlerhaft angezeigt werden oder „ruckeln“, öffne diesen Link in einem neuen Tab.)

Orientierter Flächeninhalt

Aufgabe 5

Betrachte im Applet nun die Funktion f mit f(x)=0,3x³+x²-3x-1. Bestimme das Integral auf dem Intervall [-1,5 ; 2,8]. Was fällt auf?

Im oberen Bereich des Applets kannst du sowohl die Funktionsgleichung verändern als auch die gewünschten Grenzen des Intervalls [a ; b] eingeben.

Aufgabe 6

Experimentiere mit den Intervallgrenzen a und b und formuliere eine Vermutung dazu, was man unter dem Begriff orientierter Flächeninhalt versteht.

Finde heraus, unter welchen Umständen eine Fläche einen negativen Flächeninhalt hat.

Übungsaufgaben zum Integral

Bearbeite als Übungsaufgaben die Aufgaben 1 bis 3 auf Seite 56 im Schulbuch (Lambacher Schweizer 2015, NRW GK).

Hinweise zur Integralschreibweise findest du auf Seite 54.