Nullstellen bestimmen/Substitution

Nullstellen bestimmen

• Überblick
• Ausklammern
• Faktorisieren von Polynomen
• Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen
• Erraten von Nullstellen
• Substitution

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Worum geht's?

Das Wort Substitution komm vom von spätlateinischen "substituere", was soviel bedeutet wie "ersetzen". Lies dir folgenden Text durch, und versuche zunächst selbständig, das Prinzip der Substitution zu verstehen, bevor du es dir im Video erklären lassen kannst.

Substitution

Du traust dich schon direkt, eine Aufgabe damit zu probieren?

{{Box|Aufgabe|1= Finde die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^4+2x^2-3$

Es kann sein, dass sich beim Rücksubstituieren keine Lösung rauskommt, da der Radikant der Wurzel negativ wäre.

Substitution: $f(x)=x^4+2x^2-3x \Rightarrow f(z)=z^2+2z-3$

Lösung der quadratischen Gleichung: $z_1=1; z_2=-3$

Rücksubstitution:
$z_1=1=x^2 \Rightarrow x_1 =-1 \text{ und } x_2=1$

$z_2=-3=x^2$ liefert keine (reelle) Lösung!

Nullstellen der Funktion: $x_1=-1; x_2=1$

Du möchtest dir das Prinzip erst noch ausführlich erklären lassen?

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Hefteintrag

Aufgabe

Übernimm folgenden Hefteintrag in dein Heft. Beim Lösen aller zukünftigen Aufgaben orientiere dich an dieser Vorgehensweise!

Substitution

Teste dich!

Übung

Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^4-7x^2+12$

Substitution: $f(x)=x^4-7x^2+12 \Rightarrow f(z)=z^2-7z+12$

Lösung der quadratischen Gleichung: $z_1=3; z_2=4$

Rücksubstitution:
$z_1=3=x^2 \Rightarrow x_1 =-\sqrt{3} \text{ und } x_2=\sqrt{3}$

$z_1=4=x^2 \Rightarrow x_3 =-2 \text{ und } x_4=2$



Nullstellen der Funktion: $x_1=-\sqrt{3}; x_2=\sqrt{3}; x_3=-2; x_4=2$

Super, dass du die freweillige Station gemacht hast! Die Strategie wird dir vielleicht auch in anderen Zusammenhängen im Studium noch begegnen!
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