Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest

Beim Signifikanztest können zwei Fehlentscheidungen auftreten.
Folgende Tabelle stellt beide Fehlerarten dar.

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als $\alpha$-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signifikanzniveau $\alpha$ kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer, als das festgelegte Signifkanzniveau $\alpha$ sein.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als $\beta$-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine falsche Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht kontrollieren.

Beispiel:
71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an.
$H_0:p\leq0,71$ und $H_1:p>0,71$

Der Fehler 1. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger oder genau 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test aber zu dem Ergebnis kommt, dass der Anteil größer ist.
Der Fehler 2. Art besteht darin, dass der tatsächliche Anteil über 71% liegt, der Test aber irrtümlich die Nullhypothese nicht verwirft.

Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Die Firma die zeigen möchte, dass weniger als 10% ihrer Produkte defekt sind. Wählt die Hypothesen wie folgt:$H_0:p\geq0,1$ und $H_1:p<0,1$.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.

Der Fehler 1. Art besteht daraus, dass genau oder mehr als 10% der Produkte defekt sind, der Test aber die Nullhypothese verwirft und so zu dem Ergebnis kommt, dass weniger als 10% der Produkte einen Mangel aufweisen.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.

Der Fehler 2. Art besteht daraus, dass tatsächlich weniger als 10% der Produkte defekt sind. Der Test aber die Nullhypothese $H_0:p\geq0,1$ irrtümlich nicht verwirft.

Der Großabnhemer, der zeigen möchte, dass mehr als 10% der Produkte defekt sind. Wählt die Hypothesen wie folgt: $H_0:p\leq0,1$ und $H_1:p>0,1$

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.

Beim Fehler 1. Art sind tatsächlich 10% oder weniger der Produkte defekt, der Test verwirft aber fälschlicherweise die Nullhypothese und kommt zu dem Schluss, dass mehr als 10% der Prdoukte defekt sind.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.

Beim Fehler 2.Art sind mehr als 10% der Produkte defekt. Der Test verwirft aber irrtümlich die Nullhypothese $H_0:p\leq0,1$ nicht

Nun schauen wir uns an, wie die Fehler berechnet werden.

Merke: Berechnung - Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Für die Berechnung des Fehlers 1. Art und Fehlers 2. Art, muss die tatsächliche geltende Verteilung angegeben sein. Mit dieser Verteilung berechnest du dann den Fehler 1. und Fehler 2. Art.

Beim Fehler 1. Art berechnest du mit der tatsächlich geltenden Verteilung, die kumulierte Wahrscheinlichkeit des Verwerfungsbereichs aus.
Formel Fehler 1. Art: XX

Beim Fehler 2. Art berechnest du mit der tatsächlich geltenden Verteilung, die kumulierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs aus.
Formel Fehler 2. Art:XXX

Beispiel:
71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an.
$H_0:p\leq0,71$ und $H_1:p>0,71$
Folgender Annahme- und Verwerfungsbereich wurde durch den rechtseitigen Signifikanztest ermittelt.
Annahmebereich:{0,...,733}
Verwerfungsbereich: {734,...,1000}
a)Tatsächlich fühlen sich 70% der Menschen in Deutschland durch den Klimwandel bedroht. Berechne den Fehler 1. Art!
b) Tatsächlich fühlen sich 75 % der Menschen in Deutschland durch den Klimawandel bderoht. Berechne den Fehler 2. Art.
Lösung:

a) X ist $B_{1000;0,70}-verteilt$. b) X ist $B_{1000;0,75}-verteilt$.

Klausurtraining - Signifikanztest