Alles rund um Quadratische Funktionen
In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
Scheitelpunktform
Wir schauen uns die Funktion an. Funktionen dieser Art heißen qua dra tisch e Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Pa ra bel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Schei tel punkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die x-Koordinate und der Parameter e ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. S(d,e).
Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach un ten geöffnet.
Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach o ben geöffnet.
Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g schma ler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge streckt wird.
Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g brei ter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph ge staucht wird.
Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach rechts verschoben.
Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach links verschoben.
Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach un ten verschoben.
Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach o ben verschoben.
Gegeben seien die Funktion und die Punkte und .
a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.
b) Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.
Beispiele sind:
hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)
hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)
Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus.
Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung . Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter und veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen.
Um den Parameter zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.
Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion beschreiben, wobei die Entfernung des Steins vom Ufer und die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.
a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?
b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.
c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?
Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.
Also folgt und . Damit haben wir zwei Nullstellen.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.
1. Binomische Formel:
Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen h und i in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.
Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.
Die binomischen Formeln lauten:
Nullstellen
Bestimme jeweils die Nullstellen:
Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.
Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktion 0 ergeben. Setze also zunächst bzw.
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Gleichung aufzulösen: Bei einer Funktion in Scheitelpunktform hilft es in der Regel, den Term auf einer Seite zu isolieren und dann auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen.
Weitere nützliche Hilfsmittel sind pq-Formel, quadratische Ergänzung und Mitternachtsformel.
Im Unterricht habt ihr sicherlich die pq-Formel kennengelernt. Diese besagt:
Eine Gleichung der Form hat die Lösungen
sowie
Die pq-Formel ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von sehr nützlich.Eine Möglichkeit die Nullstellen von zu bestimmen lautet wie folgt:
Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die pq-Formel zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:
Betrachte , d.h.
und teile dann beide Seiten durch .
Du erhälst die Gleichung
Durch Anwenden der pq-Formel folgt
⇔ sowie
⇔ und
Anwendungsaufgabe
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion beschrieben werden, wobei die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.
b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.
Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.
c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.
Nullstellenberechnung:
Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von eliminiert.
Im zweiten Schritt wird die pq-Formel angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.
und
Der Zeitpunkt liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur betrachten. Somit fliegt der Baseball Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.
d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?
Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:
Der Scheitelpunkt liegt bei Somit erreicht der Baseball nach Metern die maximale Höhe von Metern.
e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.
Wir müssen für die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir für ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.
Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor
Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der pq-Formel nach auf.
Es gilt
und