Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Baumdiagramme und Pfadregeln

Glücksspiel

Bei einem Glücksspiel soll das abgebildete Glücksrad zweimal gedreht werden. Wird zweimal das rote Feld gedreht, so erhält der Spieler einen Kino-Gutschein. Falls das Rad zweimal beim grünen Feld stoppt, erhält er einen Gutschein für ein Eiscafé. Einen Trostpreis gibt es, wenn bei den beiden Drehungen unterschiedliche Farben getroffen werden.

Ergebnisse und Ereignisse beim zweimaligen Drehen des Glücksrads

Bei jeder Drehung des Glücksrades kann ein grünes, rotes oder blaues Feld getroffen werden. Die Ergebnismenge des einmaligen Drehens kann also durch $\Omega_1=\{g;r;b\}$ beschrieben werden.

Info

Zur Beschreibung der Ergebnisse bei mehrstufigen Zufallsversuchen wird auf die Ergebnisse der entsprechenden einstufigen Zufallsversuche zurückgegriffen. Das Ergebnis „Beim ersten Drehen wird das rote Feld getroffen und beim zweiten Drehen ein blaues Feld.” kann dementsprechend kurz durch $(r;b)$ dargestellt werden. (In manchen Büchern findet man auch die Darstellungsweise rr, diese Darstellung versagt jedoch, wenn die Elemente der Ergebnismenge Zahlen sind.)

Aufgabe 1

Gib analog zum Beispiel in der Info-Box alle Ergebnisse des zweimaligen Drehens des Glücksrades an. Gib die Ergebnismenge an und bestimme ihre Mächtigkeit.

Bei $(r;b)$ und $(b;r)$ handelt es sich um unterschiedliche Ergebnisse.

Für den Spieler kann das Glücksspiel vier verschiedene Resultate liefern.

Aufgabe 2

Formuliere zu den vier möglichen Resultaten passende Ereignisse $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ und $E_4$ in Worten und gib die zugehörigen Teilmengen der Ergebnismenge an.

Das Baumdiagramm zum zweimaligen Drehen des Glücksrades

Zum Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen, die du in Aufgabe 2 formuliert hast, ist das Erstellen eines Baumdiagramms hilfreich.

Aufgabe 3

Zeichne das Baumdiagramm zum zweimaligen Drehen des Glücksrades.

Falls du dich nicht mehr an den genauen Aufbau eines Baumdiagramms erinnerst, recherchiere diesen online oder im Mathematik-Buch.

Gleiche dein Diagramm mit der Lösung ab. Kläre bei eventuellen Abweichungen, ob dein Ergebnis auch eine richtige Lösung darstellt, bzw. wo etwas schiefgelaufen ist. Diskutiere ggf. mit deinem Nachbarn.

Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Gewinnmöglichkeiten

Mithilfe des Baumdiagramms können die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Gewinne, die bei dem Glücksspiel eintreten können, nun auf einfachem Wege berechnet werden.

Aufgabe 4

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der vier Ereignisse, die du in Aufgabe 2 formuliert hast.

Die folgende Animation zeigt schrittweise die Vorgehensweise zur Berechnung der Wahrscheinleichkeit des Ereignisses $E:$ Der Spieler erhält einen Kino-Gutschein. (Bzw.: Es wird zweimal das rote Feld getroffen.) Übertrage diese Vorgehensweise auf das zweite Ereignis, zu dem ebenfalls nur ein Ergebnis gehört.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, zu welchem mehrere Ergebnisse gehören, addiert man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, die man zuvor wie in Tipp 1 mit der Pfad-Multiplikationsregel berechnen muss.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $\frac{1}{16}$ erhält man eien Kino-Gutschein oder den Gutschein der Eisdiele. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ erhält man keinen Preis. Wahrscheinlichkeit für einen Trostpreis: $1-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$

Aufgabe 5

Erkläre unter Verwendung von Fachbegriffen, warum die Wahrscheinlichkeit für einen Trostpreis in Aufgabe 4 mithilfe des Terms aus der Kontrollösung berechnet werden kann.