Einführung in die Automatentheorie/3. Stunde

Einführung in die Automatentheorie:   1. Stunde · 2. Stunde · 3. Stunde · 4. Stunde

Lösungen zu den beiden letzten Aufgaben aus der 2. Stunde

Aufgabe 2.5

Hier eine mögliche Lösung:

Aufgabe 2.6

Hier eine mögliche Lösung:

Bei beiden Aufgaben darf der Startzustand nicht gleich dem Endzustand sein.

Überlege dir warum?

Ansonsten könnten wir auch nichts eingeben und wären am Ziel.

Akzeptanzverhalten

Die Aufgabe eines Automaten besteht oft darin, eine Eingabe auf Korrektheit zu überprüfen.
Eine Eingabe, bestehend aus einer Folge von Zeichen aus dem Eingabealphabet, wird genau dann von dem Automaten akzeptiert, wenn der Automat einen Endzustand erreicht.

So wird zum Beispiel bei Aufgabe 2.5 die Eingabe haha akzeptiert, aber hah nicht.

Die Automaten aus Aufgabe 2.5 und 2.6 gehören zu den endlich erkennenden Automaten.

Definition

Ein endlich erkennender Automat (Akzeptor) besteht aus den folgenden Bestandteilen:

• das Eingabealphabet E

• die endliche Menge der Zustände Z

• ein Startzustand

• mindestens einen Endzustand

• eine Übergangsfunktion f, die den Zeichen E und Zustand Z genau einen neuen Zustand zuordnet

Sprache des Automaten

Gelangt der Automat in den Akzeptierzustand, so bezeichnen wir die dazu notwendige Eingabefolge als ein Wort des Automaten. Die Menge aller akzeptierten Eingabefolgen, die man Wörter nennt, bezeichnen wir als Sprache des Automaten L.

Definition

Die Sprache eines Automaten L ist die Menge aller von ihm akzeptierten Wörter über dem Eingabealphabet E.

Schauen wir uns dazu nochmal die Aufgabe 2.5 an, bei der wir einen Automaten konstruieren sollten, der die Wörter ha, haha, hahaha usw. akzeptiert.

Die Aufgabe hätte auch so lauten können:
Konstruiere einen Automaten, der die Sprache L={(ha)ⁿ|n>0} akzeptiert.
Der Exponent n (also die Hochzahl) gibt die Anzahl der Folgen des Wortes ha an. Da in diesem Beispiel n>0 ist, muss das Wort ha mindestens einmal vorkommen.

Aufgabe 3.1

Stelle die Aufgabe 2.6 (aaab, aaabaaab, aaabaaabaaab usw.) mit der Sprache eines Automaten dar.

Aufgabe 3.2

Stelle die Aufgabe 2.5 und 2.6 mit der Sprache eines Automaten dar, wenn der Startzustand auch gleich der Endzustand sein darf.

Übungsaufgaben zu endlichen Automaten (Akzeptoren)

Hinweise:

• Ein Automat kann auch mehrere Endzustände besitzen.
• Auf einer Übergangsfunktion können auch mehrere Zeichen vorhanden sein.
  

 

 Der Zustand von z1 nach z2 erfolgt, wenn a oder b gelesen wird.

Aufgabe 3.3

Konstruiere einen Akzeptor, der nur die folgende Sprache akzeptiert:

L={(aⁿb²)$\| n>0$}

Aufgabe 3.4

Konstruiere einen Akzeptor, der nur die folgende Sprache akzeptiert:

L={(aⁿb²)$\| n\geq0$}

Aufgabe 3.5

Konstruiere einen Akzeptor, der nur die folgende Sprache akzeptiert: L={(ab)ⁿ$\| n>0$} $\cup$ L={(ba)ⁿ$\| n>0$}

Hinweis: Die Vereinigungsmenge wird hier als oder interpretiert.

Aufgabe 3.6

Konstruiere einen Akzeptor, der nur die folgenden Email-Adressen erkennt:
{min. ein Zeichen}@{mind. 3 Zeichen}.de
wobei ein Zeichen ein Element aus der Menge {a,...,z,A,...,Z,0,...9,+,-,_} sein soll.

Du kannst das Zeichen mit z bezeichnen, also z $\in$ {a,...,z,A,...,Z,0,...9,+,-,_ }

Aufgabe 3.7

Konstruiere einen Akzeptor, der nur die Wörter akzeptiert, die eine gerade Anzahl von a's enthalten (die Zahl 0 wird hier als gerade interpretiert). Das Eingabealphabet ist dabei die Menge {a,b,c}. Der Automat soll zum Beispiel das Wort abacbaa akzeptieren, aber das Wort abacba verwerfen.