Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 24. April 2019, 08:32 Uhr
Bevor wir mit der eigentlichen Wahrscheinlichkeitsrechnung beginnen, sollen an dieser Stelle noch einmal die wesentlichen Grundbegriffe wiederholt werden. Die Fachbegriffe, die dir auf dieser Seite begegnen, stellen eine unverzichtbare Grundlage für die weitere Auseinandersetzung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar. Zur Veranschaulichung der Begriffe wird jeweils ein klassischer Spielwürfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 zur Rate gezogen.
Folgende Begriffe spielen im Text auf dieser Seite eine wesentliche Rolle:
Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge, Gegenereignis, Laplace-Experiment
Nimm dir einen Moment Zeit und überlege, was sie bedeuten. Mache dir auf einem Schmierzettel Notizen.
Überlege zunächst selbst, bevor du weiter liest!
Ergebnisse und Ergebnismenge
Jeder mögliche Ausgang beim Durchführen eines Zufallsexperiments wird als Ergebnis bezeichnet.
Die Ergebnismenge („Omega”) enthält alle Ergebnisse des Zufallsexperiments.
Beim einmaligen Werfen des Spielwürfels kann jede der Augenzahlen 1 bis 6 fallen. Die Ergebnisse des Experiments sind also , , , , und . Fassen wir diese sechs Ergebnisse zu eine Menge zusammen, erhalten wir die Ergebnismenge: .
Laplace-Experimente
Bei einem fairen Spielwürfel kann jede Seite mit derselben Wahrscheinlichkeit fallen. Zufallsexperimente, denen dieses Phänomen zugrunde liegt, werden als Laplace-Experimente bezeichnet.
Beim fairen Würfel wird schnell klar, dass die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse betragen muss. Es gibt schließlich sechs verschiedene Ergebnisse, auf die die Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 bzw. 100% aufgeteilt werden muss. Dies lässt sich für beliebige Laplace-Experimente verallgemeinern.
Für die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses bei einem Laplace-Experiment gilt: .
steht dabei für die Mächtigkeit der Ergebnismenge, also die Anzahl ihrer Elemente.
Ereignisse
Häufig interessieren bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse gleichzeitig. Stell dir vor, beim Spiel Mensch-Ärgere-dich-nicht steht deine Figur direkt vor den vier Ziel-Feldern, auf denen sich noch keine Spielfiguren befinden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du die Figur mit dem nächsten Wurf ins Ziel setzen kannst? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir das Ereignis, das dazu führt, dass die Figur weiter gesetzt werden kann.
Damit du die Figur ins Ziel setzen kannst, darf jede der Augenzahlen von 1 bis vier fallen, nicht aber die 5 oder die 6. Das Ereignis Die Figur kann mit dem nächsten Wurf ins Ziel gesetzt werden. lässt sich also durch die Menge beschreiben.
Bei einem Laplace-Experiment kann die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses folgendermaßen berechnet werden:
Im Fall der beschriebenen Situation besteht das Ereignis aus 4 Ergebnissen, während die Ergebnismenge aus insgesamt 6 Ergebnissen besteht. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, die Spielfigur mit dem nächsten Zug ins Ziel setzen zu können, gilt also:
.