Benutzer:Cloehner/Formeln in Figuren und Körpern/Die Kugel

Natürlich gibt es auch Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens einer Kugel. Diese findest du bei der folgenden Aufgabe versteckt zwischen den Formeln für Körper, die du bereits näher kennengelernt hast.

Aufgabe 1

Ordne die folgenden Formeln und Beschreibungen richtig zu. Die Formeln für die Kugel findest du nach den Ausschluss-Verfahren. Überlege selbst, welche der beiden neuen Formeln geeignet ist, um einen Rauminhalt zu berechnen und welche zu einem Flächeninhalt führt.

	Prisma mit quadratischer Grundfläche	Zylinder	quadratische Pyramide	Kegel	Kugel
Beschreibung:	Körper mit zwei zueinander parallelen und kongruenten Quadraten als Grundflächen und Rechtecken als Seitenflächen.	Körper mit zwei zueinander parallelen und kongruenten Kreisflächen und einer gekrümmten Mantelfläche, deren Abwicklung ein Rechteck ist.	Der Körper entsteht, wenn man die Eckpunkte eines Quadrates mit einem nicht in dieser Ebene liegenden Punkt verbindet.	Der Körper entsteht, wenn man die Punkte eines Kreises mit einem nicht in der Kreisfläche liegenden Punkt verbindet.	Der Körper entsteht, wenn eine Kreisfläche um ihren Durchmesser rotiert.
Volumen	$a^2 \cdot h$	$r^2 \cdot \pi \cdot h$	$\frac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h$	$\frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$	$\frac{4}{3}\cdot r^3 \cdot \pi$
Oberfläche	$4a\cdot h+2a^2$	$2\pi r\cdot h+2r^2 \cdot \pi$	$2a\cdot h_s + a^2$	$\pi \cdot r\cdot s+r^2 \cdot \pi$	$4 \pi \cdot r^2$

Aufgabe 2

Übertrage die Formeln für das Volumen und die Oberfläche der Kugel in deine Formelsammlung. Überlege, weshalb es nicht sinnvoll ist, für die Kugel eine Mantelfläche zu definieren.

Übungen zum Umgang mit dem Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel

Aufgabe 3

Öffne den folgenden Link im Split-View oder in einem neuen Tab. Bearbeite die Aufgaben schriftlich in deinem Mathe-Hefter. Nutze die Lösungen erst, wenn du dein Ergebnis kontrollieren möchtest oder wenn du nicht mehr weiterkommst!

Aufgaben zur Kugel

Vertiefung: Herleitung der Formel für das Kugelvolumen

Aufgabe 4

a) Berechne für verschiedene Einstellungen von r das Volumen des Zylinders und des Doppelkegels und vergleiche es mit dem Kugelvolumen. Was fällt auf?

Auch die Höhe der Körper hängt in diesem Fall direkt mit dem Radius zusammen.

b) Formuliere für den Zylinder und den Doppelkegel eine Volumen-Formel, in der nur noch die Variable r für den Radius verwendet wird. Vergleiche die Formeln mit der Formel für das Volumen der Kugel, die du oben bereits kennengelernt hast. Suche nach einem Zusammenhang. Nimm ggf. die Werte aus a) zur Hilfe.

Hier wird noch einmal genauer erklärt, wie man mithilfe von Zylinder und Kegel auf das Kugelvolumen kommt:

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