Benutzer:Cloehner/Formeln in Figuren und Körpern/Der Kegel

Das Volumen eines Kegels

Vielleicht hast du, nachdem du dich mit der Pyramide beschäftigt hast, auch schon eine Idee, wie man das Volumen eines Kegels berechnen kann. Mit der folgenden Aufgabe sollst du dir noch einmal den Zusammenhang zwischen den Körpern Prisma, Pyramide, Kegel und Zylinder verdeutlichen.

Aufgabe 1

Verschiebe im GeoGebra-Applet den Schieberegler.

a) Welche Bedeutung hat die Zahl n, die durch den Schieberegler dargestellt wird?

b) Stell dir vor, n wird unendlich groß. Erläutere, was dann mit dem Prisma und der Pyramide passieren wird.

c) Formuliere in deiner Formelsammlung zwei Formeln für das Volumen eines Kegels. Bei der zweiten Formel soll berücksichtigt werden, wie die Grundfläche eines Kegels aus dem Radius berechnet werden kann. Statt der Variablen $G$ soll hier also ein Term verwendet werden, der unter anderem die Variable $r$ für den Radius enthält, verwendet werden.

Mantelfläche und Oberfläche eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Wie die Mantelfläche aussieht, wenn man sie flach ausbreitet, und wie man ihren Flächeninhalt berechnen kann, wirst du in der nächsten Aufgabe herausfinden.

Aufgabe 2

a) Beschreibe was passiert, wenn du die Schieberegler jeweils bis zum Ende ziehst.

b) Betrachte die Legende oben links: Erkläre den Zusammenhang zwischen dem roten Bogen $b$ und dem Umfang der Grundfläche des Kegels.

c) Blende nach und nach die Schritte der Herleitung der Mantelformel ein. Erläutere zu jedem Schritt, wie man mithilfe der Abbildung und der vorherigen Schritte auf die abgebildete Formel kommt.

d) Schreibe die Gleichung nach Schritt 4 als Formel für die Mantelfläche des Kegels in deine Formelsammlung. Notiere dort auch eine Formel für die Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels.

Übung

Bearbeite Aufgabe 3a+c auf Seite 89 im Mathebuch.

Die Pyramide

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Die Kugel