Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Peter Hofbauer Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Peter Hofbauer Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>? | # Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>? | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
zu 1.) Die Lösung ist <math> | zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4. | ||
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math> | : '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math> | ||
zu 2.) Die Lösung ist <math> | zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3. | ||
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math> | : '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math> | ||
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{{ Lösung versteckt | | {{ Lösung versteckt | | ||
: zu 1.) | : zu 1.) | ||
:* Für | :* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht. | ||
:* Für <math> | :* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert | ||
:* Für <math> | :* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x. | ||
:* Der Wert <math> | :* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. | ||
: zu 2.) | : zu 2.) | ||
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | :: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | ||
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# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
: zu 1.) Die Lösung ist <math> | : zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1. | ||
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math> | :: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math> | ||
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung. | : zu 2.) Es gibt KEINE Lösung. | ||
: '''Begründung:''' | : '''Begründung:''' | ||
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein. | :* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein. | ||
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter <math> | :* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein. | ||
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle <math> | : Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat. | ||
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Version vom 17. Januar 2011, 10:06 Uhr
Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
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Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Parabel und Hyperbel
Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
Vorlage:Merksatz
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste Dein Wissen
- Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
- Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!
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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben. |
